בצל כדורי נחתך על ידי 6 מהלומות סכין ישרות; החתיכות שנוצרות לעולם לא זזות ממיקומן המקורי. מה המספר המרבי של חתיכות שניתן לחלק את העור (האינפיניטסימלי) של הבצל?
| פתרון
|
הרעיון של הפתרון מומחש בצורה מיטבית כאשר עוברים לנקודת המבט של ישות דו-ממדית המקובעת לפני השטח של הכדור. ישות כזאת חווה עולם דו-ממדי לא אוקלידי חסר גבולות; שכן היא יכולה להמשיך לנוע בקו ישר ללא סוף (אף כי מנקודת המבט שלנו היא מטיילת לאורך מעגל), וקווים מקבילים כן נפגשים בעולם הדו-ממדי שלה, שכן לכדור עקמומיות גאוס חיובית. חיתוכי הסכין הישרים יכולים לחתוך את הכדור לאורך מעגל גדול או לאורך מעגל קטן, בתלות בשאלה האם מישור החיתוך עובר דרך מרכז הכדור או לא. כדי להבין איך חיתוכי הסכין נראים בעולמה, יש להבין שמעגלים גדולים, שהם גאודזות של המשטח, משולים לקווים ישרים מנקודת מבטה, בעוד מעגלים קטנים, שהם בעלי עקמומיות גאודטית קבועה, משולים למעגלים בעולמה הדו-ממדי. לפיכך השאלה שלפנינו אנלוגית לשאלה: מה המספר המרבי של חתיכות שניתן לחלק את המישור כאשר חותכים אותו על ידי 6 קווים ישרים או מעגלים? (6 חיתוכים, כל אחד יכול להיות מעגל או ישר). ניתן להראות[דרושה הבהרה] שהמספר המרבי של חתיכות מתקבל כאשר כל החיתוכים מתבצעים על ידי מעגלים, והוא שווה ל-2 ועוד פעמיים סכום הטור החשבוני מ-1 עד 5:  . תוצאה זאת נובעת מכך שמספר התחומים המרבי  אליו ניתן לחלק את המישור על ידי שרטוט n מעגלים, מקיים את יחס הנסיגה:  , מכיוון שכל שני מעגלים נחתכים בשתי נקודות לכל היותר. על כן הנוסחה עבור במקרה של חיתוך כדור על ידי n מישורים היא:  .
|
|
