פרדוקס השקרן

בפילוסופיה ובלוגיקה, פרדוקס השקרן הוא פרדוקס המיוצג במשפטים "אני משקר עכשיו" או "המשפט הזה הוא שקר" ודומים להם, המכילים התייחסות עצמית המובילה לסתירה פנימית, שאינה מאפשרת לקבוע האם המשפט הוא אמת או שקר.

האם משפט זה הוא אמת או שקר?

אם הטענה "טענה זו היא שקרית" היא אמיתית, אז אמיתות זו פירושה שהטענה נכונה, והיא שקרית; ואם היא שקרית, שקריות זו פירושה שהטענה אינה נכונה, ולכן הטענה אמיתית. מהפרדוקס לא ניתן להימנע על ידי איסור פשוט על התייחסות המשפט לעצמו, משום שקל לבנות גם מעגלים לוגיים המביאים לסתירה, כגון צמד המשפטים "המשפט הבא הוא אמת. המשפט הקודם הוא שקר".

מפסוקים כגון זה שמביע פרדוקס השקרן נובע שלא לכל משפט תקני בשפה הטבעית אפשר לשייך ערך אמת.

פרדוקס אפימנידס

באיגרת אל טיטוס, המהווה אחד מספרי הברית החדשה - חלק מכתבי הקודש הנוצריים, מסופר על השליח טיטוס, שנשלח על ידי פאולוס אל האי כרתים, כדי להפיץ את הנצרות בקרב הכופרים. משימתו של טיטוס הייתה קשה, כיוון שאנשי כרתים סבלו מפגמים מוסריים. על-פי הכתוב, הזהיר פאולוס את טיטוס ואמר: "וכבר אמר אחד מהם, נביאם אשר בתוכם, בני כרתים כזבים הם מעולם וחיות רעות וכרשים עצלים. והעדות הזאת אמת היא..." (איגרת פאולוס אל טיטוס א', 12-13)

סיפור זה, הידוע יותר בשמו פרדוקס השקרן (או פרדוקס אפימנידס, על שם הפילוסוף הכרתי אפימנידס מקנוסוס), התפרסם במשך הדורות בגרסאות ובגלגולים שונים, והטריד את מנוחתם של רבים. מה יש בו, בסיפור, שעושה אותו לפרדוקסלי?

האיש מכרתים מספר לנו: "כל אנשי כרתים שקרנים (כזבים)". אם האיש מכרתים דובר אמת, וכל אנשי כרתים אכן שקרנים - משמע שגם הדובר (ככל אנשי כרתים) - משקר. ואם הוא שקרן (ככל אנשי כרתים), גם טענתו שכל אנשים כרתים שקרנים (משקרים תמיד) - היא שקר. ואם זה שקר (כלומר - אין זה נכון שכל אנשי כרתים שקרנים), הרי יש ביניהם גם דוברי אמת. ברור שאין זה האיש מכרתים, גיבור סיפורנו, שהסתירה בדבריו מוכיחה שהוא משקר. משפט שיש בו סתירה אינו פרדוקס, אך קל לחדד אותו לניסוח שיש בו פרדוקס, וזו הגרסה המודרנית של פרדוקס השקרן, שהיא המשפט: "מה שאני אומר עכשיו הוא שקר!" האם טענה זו היא אמת או שקר?

אם מה שאני אומר הוא אמת, ואני אומר שאני משקר - אז מה שאני אומר הוא שקר. ואם מה שאני אומר הוא שקר - אז אני משקר, כשאני טוען שאני אומר שקר, או, במילים אחרות: אני דובר אמת. הנחת השקר מובילה לאמת, והנחת האמת - לשקר.

אף תשובה אינה נכונה

וריאציה נוספת של פרדוקס השקרן הוא הפרדוקס "אף תשובה אינה נכונה". זהו פרדוקס לוגי שמבוסס על סגנונו של מבחן רב ברירתי (מבחן שבו צריך לסמן את רק תשובה נכונה אחת, מבין מספר אפשרויות מוצעות).

לדוגמה, אדם משתתף במבחן שבו מופיעה השאלה הבאה:

מה צריך לעשות בזמן נהיגה כשהרמזור מורה אדום?

א. להמשיך לנסוע

ב. להוציא את האוויר מן הצמיגים

ג. לצאת מהרכב ולהמשיך ללכת ברגל

ד. אף תשובה אינה נכונה.

קל לראות שתשובות א, ב, ג אינן נכונות, ולכן קיים הפיתוי לסמן את תשובה ד' כנכונה, אבל כאן נמצא הפרדוקס, כי תשובה ד קובעת שגם היא עצמה אינה נכונה. ניסיון נאיבי לפתרון הפרדוקס הוא לכתוב בתשובה ד': "תשובות א' ב' וג' אינן נכונות". פתרון זה שובר את כללי המשחק: במבחן רב ברירתי אי אפשר לתת מענה מילולי, אפשר רק לסמן אחת מהתשובות כנכונה. אפשר להסכים שהתשובה "אף תשובה אינה נכונה" היא קיצור של "כל התשובות מלבד זו אינן נכונות", ובכך לסלק את הפרדוקס, אך ללא הסכמה מפורשת זו הפרדוקס נותר בעינו.

פרדוקס זה הוא וריאציה של פרדוקס השקרן: תשובות א, ב, ג שקולות לאנשי כרתים, ותשובה ד שקולה למְסַפֵּר שאומר "כל בני כרתים שקרנים".

בדומה לשאר הווריאציות של פרדוקס השקרן, אין פתרון לפרדוקס זה, אלא המסקנה היא התובנה שהשפה מאפשרת לנו לומר אמירות פרדוקסליות.

ניתוח הפרדוקס

משפטים עם התייחסות עצמית

אפשר לטעון שהפרדוקס במשפט זה נובע מכך שמדובר במשפט יחיד המתייחס אל עצמו, ומשפטים כאלה מועדים לפורענות. קל לתקן עניין זה באמצעות צמד משפטים: "המשפט הבא הוא שקר. המשפט הקודם הוא אמת". אך גם במקרה זה הפרדוקס יתקיים. המושגים "המשפט הבא" ו"המשפט הקודם" מצביעים [denote] אל עבר טענה אחרת, המתייחסת לטענה הראשונה וכוללת את הטענה בתוכם. בלא הצבעה [denoting], המשפטים ייראו כך: "המשפט אשר טוען שמשפט זה הוא אמת הוא שקר. המשפט אשר טוען שמשפט זה הוא שקר הוא אמת". ההתייחסות העצמית נותרת.

לפרדוקס השקרן יש וריאציות רבות, וכמעט כל פרדוקס שסיבתו הפניה-עצמית מבוסס עליו. לדוגמה, "במשפת זה יש שלוש שגיעות!" - במשפט יש שתי שגיאות כתיב (במילים "משפת" ו"שגיעות"); אבל אם המשפט נכון, אלו הן שתי השגיאות היחידות, ולכן המשפט אינו נכון. ואם אינו נכון, אז הוא עצמו מהווה שגיאה שלישית, ולכן המשפט נכון. אך במשפט זה חוסר המיקוד בשפה הוא גורם הפרדוקס, שאם נמקד את המשפט בשפה שמחלקת שבין שגיאות כתיב לשאר דברים לא נכונים יבוטל הפרדוקס, כגון "במשפת זה יש שלוש שגיעות כתיב", שהוא משפט שאינו נכון ללא כל פרדוקס.

מיקוד הפרדוקס ופתרונו

יש הרואים את הבעיה בפרדוקס בכך שהמילה "זה" לא מוגדרת בו היטב. המילה "זה", היא מאזכר, ומכיוון שהיא מתייחס לאותו משפט, משמעות המשפט היא למעשה "המשפט 'המשפט הזה הוא שקר' הוא שקר", ולפיכך "המשפט 'המשפט "המשפט הזה הוא שקר" הוא משפט שקר' הוא משפט שקר", וכן הלאה עד אינסוף.

יש הטוענים כי הפרדוקס "לא קיים במציאות", אלא קיים אך ורק באופן הצגת הדברים, ובדומה לפרדוקס של זנון בה אין מונע אמיתי מאכילס לחלוף על פני הצב, כך כאן אין מונע אמיתי מהבנת הפסוק באופן חד ערכי, ועל פיו לקבוע את אמיתות או שקריות המשפט.

על מנת להבין סוג פתרון זה ניתן להראות משפט "כמעט" פרדוקסלי, ולפתור באופן דומה את הפרדוקס. לדוגמה: פלוני טוען בבוקרו של יום, שבמקום בו הוא עומד כעת חצות לילה. לא נוכל לקבל את טענתו, כי אנו יודעים שהיא שקרית, "ואילו ניסינו לקבל את דבריו כאמת" היינו נתקלים במידע הקובע שאין לקבל את טענתו. לעומת זאת, כשנבוא לדחות את דבריו, אין סתירה בין החלטתנו ובין הפסוק שנדחה, שכן הוא נדחה, ואין מה לעיין בדבריו.

מקרה יותר קרוב לפרדוקסלי הוא כאשר פלוני טוען שהוא משקר תמיד. לא נוכל לקבל את טענתו, ונקבע שהוא משקר לעיתים - בטענת "ממה נפשך": אנו חייבים לדחות את דבריו, שכן אם נרצה לקבל אותם, אנו מניחים כי טענתו היא אמת, טענה הסותרת את טענתנו. וכאשר אנו באים לדחות את דבריו, דחיית דבריו הפעם תקֵיפה, כי ייתכן ש"לעיתים" פלוני משקר, אך לא "תמיד" כדבריו.

לאור התבוננות זו, ובאופן דומה, אם נביט בפסוק: "משפט זה הוא שקר" - ואם יש לפסוק כזה משמעות יותר מאשר לפסוק: "משפט זה הוא מלפפון כחול" - עלינו לשלול את הטענה של הפסוק, בטענת "ממה נפשך": אנו חייבים לדחות את דברי ה"תוכן" של המשפט, כי תוכנו סותר את אמיתות הפסוק עצמו. אבל כאשר אנו באים לקבוע את דחיית תוכן הפסוק לקבוע שהפסוק אינו בעל "אמת" אנו קובעים שהוא - והפעם אנו מדברים על הפסוק ולא על תוכנו, נדחה בלא סתירה, מכיוון שבשקר יש מידה מסוימת של אמת, אבל לא כולה אמת. כלומר אמת, היא רק אמת מוחלטת, אבל שקר הוא כל מה שאינו אמת מוחלטת, ויכול להכיל גם חלקים שהם אמת. בדרך זו, על פי ההבנה האנושית (הסמנטיקה), גם מבחן רב-ברירתי שבו אחת האפשרויות היא "אף תשובה אינה נכונה" - אינה פרדוקסלית, מכיוון שברור לעונה על השאלון שכוונת השואל אינה כוללת את התשובה הזו עצמה.

לחלופין, דרך נוספת לדחות את המשפט היא לקבוע שהפסוק הוא "אינו אמת" בבחינת חוסר המשמעות שלו. באופן זה בדומה לדוגמה עם פלוני ו"חצות לילה" - אין צורך להתבונן בתוכן המשפט מרגע שדחינו אותו, מכיוון שאין לו משמעות, ומשמעות זו הייתה מושגת רק אם הטענה הייתה מתייחסת למשהו שאפשר לאמת או להכחיש.

אם נחזור לדוגמה הראשונה בערך זה, בו פלוני אומר: "אני משקר עכשיו", ניתן לאמת את דבריו ולהגיד: נכון, אתה משקר עכשיו. שקר זה כולל מידה מעטה של אמת, שאינה מורידה מערך השקר הכללי. אמת זו היא שהוא אכן משקר (באופן כולל ובדבר שאין אפשרות לבדוק אותו, כי לא ברור מה משמעות השקר ומהו הדבר שאותו ניתן לאמת או להכחיש).

לעומת זאת אם בדוגמה, הפלוני היה אומר: "אין במה שאני אומר ולו מידה זעירה של אמת", היינו בוחרים להבין את דבריו כויתור על משמעות, כאילו אמר "הריני מוותר לכם על המשך בחינת הדברים שאני אומר", והיינו משווים זאת לאדם האומר: "משפט זה הוא מלפפון כחול", שגם אותו אנו דוחים, ללא כל חשש לפרדוקס.

השוואה לפרדוקסים אחרים

פרדוקס השקרן נחשב לפרדוקס אמיתי, כזה המאלץ אותנו לשנות את הנחות היסוד (כגון ההנחה שאפשר לייחס לכל טענה ערך אמת). פרדוקס הספר דומה לפרדוקס השקרן בכך שכל ערך אמת שמייחסים לטענה (הספר מספר את עצמו; הספר אינו מספר את עצמו) מוליך לסתירה. עם זאת, פרדוקס הספר הוא פרדוקס רק אם מניחים שהספר אכן קיים. במובן זה אפשר לראות בו לא פרדוקס, כי אם הוכחה שהספר אינו קיים. על פי סיווג הפרדוקסים של קווין , פרדוקסים כאלה נקראים פרדוקסים ורידיקליים (כאלו המביאים להוכחה שטענה מסוימת היא אמיתית) או פולסידיקליים (כאלו המביאים להוכחה שטענה מסוימת – ובמקרה זה הטענה שהספר קיים – היא שקרית). אכן, הפרדוקס של ראסל, שאפשר לראות בו ניסוח מתמטי של פרדוקס הספר, מראה שקבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן אינה יכולה להתקיים; ומכאן שלא כל נוסחה מגדירה קבוצה. במובן זה, פרדוקס הכל-יכול דומה לפרדוקס הספר, משום שאחת הדרכים להתיר אותו היא לראות בו הוכחה לאי-קיומה של ישות כל-יכולה.

שימוש בהוכחות מתמטיות

הראשון לנצל את הסתירתיות בבסיס פרדוקס השקרן לשם הוכחה מתמטית היה גאורג קנטור. קנטור הוכיח את משפט קנטור על ידי כך שהניח שהמשפט שגוי, והסיק מכך כי קיימים קבוצה $D$ ואיבר $d$, כך שאם $d\in D$, אז $d\not \in D$, ואם $d\not \in D$, אז $d\in D$. סתירה זו הובילה אותו למסקנה כי משפט קנטור נכון.

קורט גדל עשה שימוש בגרסה של פרדוקס השקרן לשם הוכחת משפט האי שלמות הראשון המפורסם שלו. במהלך ההוכחה הוא הראה כיצד בתורות מסוימות ניתן לבנות טענה שמעידה על עצמה "טענה זו אינה ניתנת להוכחה", ולכן היא עצמאית. אלפרד טרסקי הראה כי לא ניתן לבנות בתורות כאלה טענה שאומרת "טענה זו שקרית".

אלן טיורינג הראה שבעיית העצירה היא לא-כריעה באמצעות לכסון. ההוכחה משתמשת בהנחה בשלילה כדי להראות מקרה בו מכונה שפותרת את בעיית העצירה תניב תוצאה שגויה, באמצעות בניית מכונה חדשה על גבי המכונה שפותרת את בעיית העצירה ומתנהגת הפוך ביחס לניבוי שלה, ובכך הראה שמכונה כזו לא יכולה להתקיים.

לקריאה נוספת

• ריימונד סמוליאן, מה שמו של ספר זה?, הוצאת כנרת, 2006.
• ענת בילצקי, ‏פרדוקסים, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1996, עמודים 11–13, 111-101
• Douglas R. Hofstadter, "On Self-Referential Sentences", Scientific American, January 1981, January 1982.

קישורים חיצוניים

• ענת בילצקי, מהו פרדוקס? באתר מט"ח
• מריוס כהן, מגזין "גלילאו", פרדוקסים של הוראה עצמית, באתר ynet, 12 במאי 2008
• פרדוקס השקרן, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• There's a Hole at the Bottom of Math, סרטון בערוץ "Veritasium", באתר יוטיוב
• הפרדוקס של השקרן, דף שער בספרייה הלאומית