קבועים טריגונומטריים מדויקים

ייצוג קבועים טריגונומטריים מדויקים על ידי ביטויים מתמטיים שימושי להמרת ביטויים טריגונומטריים לביטויים רדיקלים (ביטויים מהצורה ${\sqrt[{n}]{a}}$).

הקבועים הבסיסיים על מעגל היחידה הם כפולות של 30 ו45 מעלות.

ערכי סינוס, קוסינוס וטנגנס של כפולות 3° ניתנים לפיתוח על ידי זהויות טריגונומטריות מתוך הערכים הידועים של 0°, 30° ו-45°.

הרשימה כאן אינה שלמה, כיוון שניתן להמשיך ולחלק כל זווית נתונה לזוויות קטנות ממנה.

רשימת קבועים

ערכים נוספים מחוץ לטווח הרשימה ניתן לחשב בקלות על ידי זהויות טריגונומטריות.

0°

$0$	$\sin 0=$
$1$	$\cos 0=$
$0$	$\tan 0=$
לא מוגדר	$\cot 0=$

מצולע בעל 60 צלעות - 3°

${\frac {(2-2{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {5}}-1)}{16}}\,$	$\sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }=$
${\frac {(2+2{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {5}}-1)}{16}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }=$
${\frac {\left((2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right)\left(2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{4}}\,$	$\tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }=$
${\frac {\left((2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right)\left(2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{4}}\,$	$\cot {\frac {\pi }{60}}=\cot 3^{\circ }=$

מצולע בעל 30 צלעות - 6°

${\frac {{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}\,$	$\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{8}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{2}}\,$	$\tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }=$
${\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}}{2}}\,$	$\cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }=$

מצולע בעל 20 צלעות - 9°

${\frac {{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}}-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}\,$	$\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}}+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }=$
${\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$	$\tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }=$
${\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$	$\cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }=$

מצולע בעל 15 צלעות - 12°

${\frac {{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{8}}\,$	$\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{8}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }=$
${\frac {3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}}{2}}\,$	$\tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,$	$\cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }=$

מתורסר, מצולע בעל 12 צלעות - 15°

${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\,$	$\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }=$
$2-{\sqrt {3}}\,$	$\tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=$
$2+{\sqrt {3}}\,$	$\cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=$

מעושר, מצולע בעל 10 צלעות - 18°

${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}\,$	$\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }=$
${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }=$
${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}\,$	$\tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }=$
${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$	$\cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }=$

סכום זוויות: 9° + 12° = 21°

${\frac {(2{\sqrt {3}}+2){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}\,$	$\sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }=$
${\frac {(2{\sqrt {3}}-2){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}\,$	$\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }=$
${\frac {\left(2-(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right)\left(2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}\,$	$\tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }=$
${\frac {\left(2-(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right)\left(2+{\sqrt {10{\sqrt {5}}}}\right)}{4}}\,$	$\cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }=$

מתומן, מצולע בעל שמונה צלעות - 22.5°

${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}\,$	$\sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }=$
${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }=$
${\sqrt {2}}-1\,$	$\tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }=$
${\sqrt {2}}+1\,$	$\cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }=$

סכום זוויות: 12° + 12° = 24°

${\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{8}}\,$	$\sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1}{8}}\,$	$\cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,$	$\tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{2}}\,$	$\cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }=$

סכום זוויות: 15° + 12° = 27°

${\frac {({\sqrt {5}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}}}{8}}\,$	$\sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }=$
${\frac {({\sqrt {5}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}})}{8}}\,$	$\cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }=$
${\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$	$\tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }=$
${\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$	$\cot {\frac {3\pi }{20}}=\cot 27^{\circ }=$

משושה, מצולע בעל שש צלעות - 30°

${\frac {1}{2}}\,$	$\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }=$
${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }=$
${\frac {\sqrt {3}}{3}}\,$	$\tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }=$
${\sqrt {3}}\,$	$\cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }=$

סכום זוויות: 18° + 15° = 33°

${\frac {(2{\sqrt {3}}-2){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+(1+{\sqrt {3}})({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}})}{16}}\,$	$\sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }=$
${\frac {(2{\sqrt {3}}+2){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+(1-{\sqrt {3}})({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}})}{16}}\,$	$\cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }=$
${\frac {\left(2-(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right)\left(2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}\,$	$\tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }=$
${\frac {\left(2-(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right)\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}\,$	$\cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }=$

מחומש, מצולע בעל חמש צלעות - 36°

${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\,$	$\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }=$
${\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}={\frac {\varphi }{2}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }=$
${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$	$\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }=$
${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}\,$	$\cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }=$

סכום זוויות: 21° + 18° = 39°

${\frac {(2-2{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {5}}+1)}{16}}\,$	$\sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }=$
${\frac {(2+2{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {5}}+1)}{16}}\,$	$\cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }=$
${\frac {\left((2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right)\left(2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}\,$	$\tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }=$
${\frac {\left((2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right)\left(2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}\,$	$\cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }=$

סכום זוויות: 21° + 21° = 42°

${\frac {{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,$	$\sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{8}}\,$	$\cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,$	$\tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }=$
${\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,$	$\cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }=$

ריבוע, מצולע בעל ארבע צלעות - 45°

${\frac {\sqrt {2}}{2}}\,$	$\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }=$
${\frac {\sqrt {2}}{2}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }=$
$1\,$	$\tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=$
$1\,$	$\cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=$

משולש, מצולע בעל שלוש צלעות - 60°

${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$	$\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }=$
${\frac {1}{2}}\,$	$\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }=$
${\sqrt {3}}\,$	$\tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }=$
${\frac {\sqrt {3}}{3}}\,$	$\cot {\frac {\pi }{3}}=\cot 60^{\circ }=$

קישורים חיצוניים

• Constructible Regular Polygons
• Naming polygons
• קבועים טריגונומטריים מדויקים, באתר MathWorld (באנגלית)