טריגונומטריה

טריגונומטריה (מיוונית τρίγωνον "משולש" + μέτρον "מדידה") היא ענף בגאומטריה העוסק בחקר המשולשים והקשר שבין צלעותיהם וזוויותיהם. קשר זה מבוטא בעזרת פונקציות טריגונומטריות, שהמוכרות שבהן הן סינוס, קוסינוס וטנגנס.

הטריגונומטריה התפתחה במאה ה-3 לפני הספירה כענף של גאומטריה עבור שימושים באסטרונומיה אך כיום לטריגונומטריה יישומים רבים מעבר לאסטרונומיה, למשל עבור ניווט, אופטיקה, תורת המוזיקה ועוד.

עמוד מתוך ספר המתמטיקה הגרמני Manuale Mathematicum משנת 1617 המתאר שימוש בטריגונומטריה

היסטוריה

אסטרונומים שומריים עסקו במדידת זוויות באמצעות חלוקת המעגל ל-360 מעלות. אסטרונומים אלה, ולאחריהם המצרים והבבלים, חקרו את היחסים בין צלעות במשולשים דומים, אך לא פיתחו תורה שיטתית למציאת אורכי צלעות וזוויות במשולשים. במאה השלישית לפנה"ס, מתמטיקאים יוונים כגון אוקלידס וארכימדס חקרו את תכונותיהם של מיתרים וזוויות היקפיות במעגלים, והוכיחו משפטים גאומטריים השקולים לנוסחאות טריגונומטריות מודרניות. במאה השנייה לפנה"ס ערך המתמטיקאי היווני היפרכוס לוח של אורכי מיתרים, המקביל ללוחות מודרניים של ערכי פונקציית הסינוס, והשתמש בו על מנת לפתור בעיות בטריגונומטריה וכן בטריגונומטריה ספירית. במאה השנייה לספירה, פרסם האסטרונום היווני תלמי טבלאות טריגונומטריות מפורטות (בספר א', פרק י"א של האלמגסט). תלמי השתמש באורך מיתר על מנת להגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות, באופן השונה אך במעט מההגדרות המודרניות. מאות שנים עברו בטרם הועלו על הכתב טבלאות מפורטות יותר, ועבודתו של תלמי שימשה בסיס לחישובים טריגונומטריים במשך 1200 השנים הבאות, באימפריה הביזנטית, העולם האסלאמי, ולאחר מכן גם במערב אירופה.

ההגדרה המודרנית של פונקציות טריגונומטריות מופיעה לראשונה בחיבור הסנסקריטי סוריא סידהאנתא, ותכונותיהן נחקרו בעבודותיו של המתמטיקאי ההודי בן המאה החמישית אריאבהטה. עבודות אלו תורגמו והורחבו בימי הביניים על ידי מתמטיקאים מן העולם האסלאמי. נכון למאה ה-10, מתמטיקאים אלה כבר הכירו והשתמשו בכל שש הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות, ערכו לוחות של ערכיהן, והשתמשו בהם לפתרון בעיות בגאומטריה ספירית. ביסוס הטריגונומטריה כענף מתמטי נפרד מאסטרונומיה ופיתוח הטריגונומטריה הספירית בצורתו הנוכחית מיוחס להמתמטיקאי ואיש האשכולות הפרסי נסיר א-דין א-טוסי.

ידע אודות שיטות ופונקציות טריגונומטריות הגיע למערב אירופה דרך תרגומים לטיניים של האלמגסט של תלמי, ועבודותיהם של אסטרונומים פרסים וערביים כגון מוחמד אל-בטאני, אבו אל-ופא בוזג'אני ונסיר א-דין א-טוסי. אחת העבודות הראשונות על הטריגונומטריה באירופה נכתבה במאה ה-15 על ידי המתמטיקאי הגרמני רגיומונטאנוס, בעידודו ובתמיכתו של המלומד היווני-ביזנטי בזילאוס בסאריון, איתו התגורר מספר שנים. באותו זמן, האלמגסט תורגם מיוונית ללטינית על ידי המלומד היווני ג'ורג'ו מטרביזונד. נכון למאה ה-16, הטריגונומטריה טרם זכתה לתפוצה רחבה באירופה, וקופרניקוס נאלץ להקדיש שני פרקים בספרו De Revolutionibus Orbium Coelestium ("על תנועתם של גרמי השמים") להצגת יסודותיה.

בעקבות הדרישה הגוברת למפות מדויקות לצורכי ניווט, נהפכה הטריגונומטריה לענף מרכזי במתמטיקה. הגרמני בן המאה ה-16 ברתולומיאוס פיטיסקוס (Bartholomaeus Pitiscus) היה הראשון להשתמש במונח, עם פרסום ספרו "טריגונומטריה" ("Trigonometria") ב-1595. המלומד ההולנדי גמה פריזיוס (Gemma Frisius) היה הראשון לתאר את שיטת הטריאנגולציה המשמשת עד היום בחישוב מרחקים ומיקומים. המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר פיתח את השימוש במספרים מרוכבים בטריגונומטריה. עבודותיהם של המתמטיקאים הסקוטיים ג'יימס גרגורי (במאה ה-17) וקולין מקלורן (במאה ה-18) השפיעו רבות על פיתוחן של סדרות טריגונומטריות.

בספרות רבנית מימי הביניים כונה הסינוס - "בקע", והקוסינוס - "תשלום הבקע". את המונח "בקע" טבע רבי יצחק הישראלי, בעל הספר "יסוד עולם".

פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

הגדרת סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנס של זווית α על מעגל היחידה

מספר פונקציות טריגונומטריות המתארות יחסים בין צלעות במשולשים ישרי זווית. במשולש ישר-זווית כלשהו (x בין 0° ל-90° במעלות או בין 0 ל-π/2 ברדיאנים):

• סינוס של זווית (Sin x) מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\sin A={\frac {a}{c}}$

• קוסינוס של זווית (Cos x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\cos A={\frac {b}{c}}$

השם קוסינוס הוא קיצור של complement sine - סינוס הזווית המשלימה.

הפונקציות מקיימות $\cos \alpha =\sin({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\quad \sin \alpha =\cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )$

ממשפט פיתגורס נובע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה ל-1.

• טנגנס של זווית (tg x או tan x) הוא היחס בין הניצב שמול הזווית והניצב שליד הזווית, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\tan A={\frac {a}{b}}$

הטנגנס מתקבל גם על ידי חלוקת סינוס בקוסינוס, ובאופן הזה ניתן להגדיר אותה לאורך כל הישר הממשי.

הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה

הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר-זווית, בהן $\ x\geq 90^{\circ }$ או $\ x\leq 0^{\circ }$, על ידי הגדרתן באמצעות הקואורדינטות של מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית α הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון החל מקרן המספרים החיוביים בציר ה-X לאורך זווית α, וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 0⁰ ל-90⁰, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא לעולם אחד. מסיבה זו, ערכם המוחלט חסום על ידי 1.

יישומי הטריגונומטריה

נקודת הטריאנגולציה בהמרפסט, חלק מהקשת הגאודזית של שטרובה, מפעל אשר השתמש בטריגונומטריה במטרה לחקור ולקבוע את גודלו וצורתו המדויקת של כדור הארץ

ישנם שימושים רבים לטריגונומטריה ולפונקציות טריגונומטריות. לדוגמה, טכניקת הטריאנגולציה משמשת באסטרונומיה למדידת המרחק של כוכבים סמוכים, בגאוגרפיה למדידת המרחק בין עצמים שונים במרחב ובתקשורת לזהוי מקור האות של הטלפון הסלולרי. פונקציות הסינוס והקוסינוס הן עקרונות בסיסיים בתאוריית הפונקציה המחזורית, כגון אלו המתארות את התנהגות גלי האור והקול. תחומים נוספים בהם עושים שימוש בטריגונומטריה כוללים פיזיקה, סייסמולוגיה, ארכיטקטורה, פונטיקה, כלכלה^{[דרושה הבהרה]}, קריסטלוגרפיה ופיתוח משחקי מחשב.

שימושים בקרטוגרפיה

השימוש בטריגונומטריה נמצא ביסודה של כל מדידת שטח - ממגרש לבנייה ועד ליבשות. זוויות קל יחסית למדוד בדייקנות, אבל יותר קשה למדוד מרחקים, במיוחד במקומות שבהם פני הקרקע הם בעייתיים. משום כך, מודדים מתחילים בדרך כלל ממדידה מדויקת של אורך אחד, קו הבסיס, שהוא המרחק בין שתי נקודות ציון מסוימת. אחר כך הם יוצרים רשת של משולשים ומשתמשים בזוויות שנמדדו ובטריגונומטריה לחישוב צלעותיהם של המשולשים האלה. באופן כזה אפשר לבנות מפה מדויקת של אזור שלם. התהליך ידוע בשם טריאנגולציה. על מנת לבדוק את הדיוק בתוצאות, אפשר לבצע מדידה שנייה של מרחק, אחרי שהטריאנגולציה הושלמה. בשנת 1751 ערכו סקר מדידות בדרום אפריקה על ידי האסטרונום אבה ניקולה לואי דה לאקאי. מטרתו העיקרית הייתה לערוך קטלוג על כוכבים בשמי חצי הכדור הדרומי, אבל כדי לעשות זאת בדייקנות היה עליו למדוד תחילה את הקשת של קו אורך מתאים. לשם כך הוא פיתח טריאנגולציה של האזור עד צפונה לקייפטאון. התוצאות שלו הצביעו על כך שהעקמומיות של כדור הארץ בקווי הרוחב הדרומיים יותר קטנה מזו שבקווי הרוחב הצפוניים - תוצאה מפתיעה שאושרה במדידות מאוחרות יותר. כדור הארץ הוא במובן מסוים דמוי אגס. הצלחתו בעבודת הקיטלוג הייתה רבה מאוד: הוא נתן שמות ל-15 מתוך 88 קבוצות הכוכבים המוכרות היום, צפה בלמעלה מ-10,000 כוכבים, תוך שימוש בטלסקופ שבירת אור קטן.

ראו גם

• טור טיילור
• נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

קישורים חיצוניים

• טל קוולר, הטריגונומטריה שהקדימה את זמנה, באתר מכון דוידסון, ספטמבר 2017
• טריגוקליק - אתר עזר לפתרון בעיות במשולשים (באנגלית)
• טריגונומטריה, באתר MathWorld (באנגלית)
• טריגונומטריה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• טריגונומטריה, דף שער בספרייה הלאומית