קבוצת החזקה

(הופנה מהדף קבוצת חזקה)

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה היא קבוצת כל תת הקבוצות של , ומסמנים אותה ב-. פורמלית , ולדוגמה: . במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונותעריכה

  • כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
  • ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי   שווה ל-  (שתיים בחזקת עוצמת  ), ובניסוח מתמטי:  . בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של   בסימון  , ויש המסמנים את קבוצת החזקה עצמה ב- .
  • קבוצת החזקה של   איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות של תת-קבוצות של  , היא   (כל תת-קבוצה   מתאימה לפונקציה המציינת שלה  ). לכן הסימון   לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם  ). זו המוטיבציה לסימון   שיש הנוקטים בו עבור קבוצת החזקה של   (" " מתאים לקבוצה בת שני האיברים  ).
  • משפט קנטור מראה כי אי השוויון   שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה  .

ראו גםעריכה


קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא קבוצת החזקה בוויקישיתוף