תורת הקבוצות - מונחים

רשימת ערכים
  • קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
  • תת קבוצה: קבוצה היא תת קבוצה של הקבוצה אם כל איבר של שייך גם ל-. נסמן זאת בצורה: .
  • הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
  • יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
  • פעולות על קבוצות:
    • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: .
    • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: .
      • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
        • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר ו-
    • הפרש: ההפרש בין ל־ הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־ ולא שייכים ל־.
      • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות ו- הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי שלא שייכים ל- וכל איברי שלא שייכים ל־ - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
      • הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
    • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל- והשני שייך ל-. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
      • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • בחירה
  • קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
  • קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
  • השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין ו-, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).
  • קבוצה בת מנייה: קבוצה אינסופית שניתן למנות את אבריה; כלומר, כזו שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים. (לפעמים כוללים בהגדרה גם קבוצות סופיות).
  • קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה תסומן .
  • יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - , והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - (לא בהכרח שונה מ-). בכתיב פורמלי: קבוצה תיקרא יחס מ- ל- אם .
    • פונקציה: יחס בו לכל איבר של קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
      • פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל בטווח קיים לכל היותר אחד בתחום המקיים .
      • פונקציה על: פונקציה תקרא על אם לכל בטווח קיים לפחות אחד בתחום המקיים .
      • פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל קיים יחיד כך ש- (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
    • יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
    • סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
      • סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
        • סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי.
      • שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).
  • קבוצת כל הפונקציות מקבוצה לקבוצה : קבוצה המסומנת והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה אל תוך הקבוצה .
  • ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.
  • משפטים:
    • משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
    • האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
    • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה לקבוצה , וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה לקבוצה , אז שתי הקבוצות שקולות.