קומפקטיפיקציה חד-נקודתית

קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.

הבנייה

יהא $(X,\tau _{X})$ מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית $\infty \notin X$ ונגדיר $Y=X\cup \left\{\infty \right\}$. נגדיר טופולוגיה $\tau _{Y}$ על $Y$ - קבוצה $U\subseteq Y$ תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

1. $U$ הייתה במקור קבוצה פתוחה ב-$X$, כלומר $U\in \tau _{X}$.
2. $\infty \in U$ וגם $Y\setminus U$ היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת נכונות הבנייה

נראה ש-$Y$ הוא מרחב קומפקטי. יהא ${\mathcal {U}}$ כיסוי פתוח של $Y$. קיימת $V_{0}\in {\mathcal {U}}$ כך ש-$\infty \in V_{0}$, ומשום ש-$V_{0}\in \tau _{Y}$ אזי $Y\setminus V_{0}$ היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל-$Y\setminus V_{0}$ יש תת-כיסוי סופי $\left\{V_{1},...,V_{n}\right\}$, לכן $\left\{V_{0},V_{1},...,V_{n}\right\}$ הוא כיסוי סופי של $Y$ ונקבל ש-$Y$ קומפקטית כנדרש.

תכונה נוספת של Y

ערכים מורחבים – מרחב קומפקטי מקומית, מרחב האוסדורף

אם נניח ש-$X$ הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם $Y$ הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות $x,y\in Y$. אם $x,y\in X$ אזי משום ש-$X$ הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב-$X$ וזרות $U$ ו-$V$ כך ש-$x\in U$ ו-$y\in V$ ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב-$X$ היא קבוצה פתוחה ב-$Y$. אחרת, $x=\infty$ או $y=\infty$ ונניח בלי הגבלת הכלליות כי $x=\infty$. משום ש-$X$ הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת $V\in \tau _{X}$ (ובפרט, $V\in \tau _{Y}$) כך ש-$y\in V$ וש-${\overline {V}}$ היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה $U:=Y\setminus \left\{{\overline {V}}\right\}$ היא קבוצה פתוחה ב-$Y$. בנוסף, נשים לב כי $x=\infty \in U$ ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב-$Y$ וזרות כך ש-$x\in U$ ו-$y\in V$ ולכן נקבל ש-$Y$ הוא מרחב האוסדורף כנדרש.

ראו גם

• הטלה סטריאוגרפית
• קומפקטיפיקציה
• קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

קישורים חיצוניים

• קומפקטיפיקציה חד-נקודתית, באתר MathWorld (באנגלית)