קומפקטיפיקציה חד-נקודתית
קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.
הבנייה
עריכהיהא מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית ונגדיר . נגדיר טופולוגיה על - קבוצה תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:
- הייתה במקור קבוצה פתוחה ב- , כלומר .
- וגם היא קבוצה קומפקטית.
הוכחת נכונות הבנייה
עריכהנראה ש- הוא מרחב קומפקטי. יהא כיסוי פתוח של . קיימת כך ש- , ומשום ש- אזי היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל- יש תת-כיסוי סופי , לכן הוא כיסוי סופי של ונקבל ש- קומפקטית כנדרש.
תכונה נוספת של Y
עריכה- ערכים מורחבים – מרחב קומפקטי מקומית, מרחב האוסדורף
אם נניח ש- הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות . אם אזי משום ש- הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב- וזרות ו- כך ש- ו- ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב- היא קבוצה פתוחה ב- . אחרת, או ונניח בלי הגבלת הכלליות כי . משום ש- הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת (ובפרט, ) כך ש- וש- היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה היא קבוצה פתוחה ב- . בנוסף, נשים לב כי ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב- וזרות כך ש- ו- ולכן נקבל ש- הוא מרחב האוסדורף כנדרש.
ראו גם
עריכהקישורים חיצוניים
עריכה- קומפקטיפיקציה חד-נקודתית, באתר MathWorld (באנגלית)