ראשוני ז'רמן

Question dropshade.png בעיות פתוחות במתמטיקה:
האם ישנם אינסוף מספרים ראשוניים שהם ראשוני ז'רמן?
(בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

בתורת המספרים, מספר ראשוני p הוא ראשונִי ז'רמן, אם גם 2p+1 הוא מספר ראשוני. לדוגמה, המספר הראשוני 11 הוא ראשוני ז'רמן משום ש-23 ראשוני, ואילו 23 ראשוני ז'רמן, משום ש- 47 ראשוני. האחרון אינו ראשוני ז'רמן, שהרי 95 אינו ראשוני. ראשוניי ז'רמן קרויים כך על שם המתמטיקאית סופי ז'רמן, שהוכיחה עבורם את "המקרה הראשון" של השערת פרמה: אם p ראשוני ז'רמן, לא קיימים שאינם מתחלקים ב- p, המקיימים .

משערים שיש אינסוף ראשוניי ז'רמן. ואולם כמו השערת המספרים הראשוניים התאומים, השערה זו לא הוכחה. ראשוניי ז'רמן הראשונים הם 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431 ו- 443.

לפי קירוב היוריסטי של הארדי וליטלווד, מספר ראשוניי ז'רמן שמתחת לגבול נתון n הוא , כאשר הוא הלוגריתם בבסיס הטבעי, ו- הוא קבוע הראשוניים התאומים. עבור n=10000, האומדן הזה חוזה 156 ראשוניי ז'רמן, פחות ב-20% מן המספר הנכון, 190. עבור , האומדן 50,822 נמוך בכ-10% מן המספר האמיתי, 56,032.

ראשוני ז'רמן הגדולים ביותר (נכון לאוגוסט 2021) הם:[1]

ערך מספר ספרות זמן גילוי מגלה
2618163402417 × 21290000 − 1 388342 פברואר 2016 PrimeGrid[2]
18543637900515 × 2666667 − 1 200701 אפריל 2012 פיליפ בלידונג בחיפוש PrimeGrid מבוזר עם TwinGen ומבחן LLR[3]
183027 × 2265440 − 1 79911 מרץ 2010 טום וו באמצעות LLR[4]
648621027630345 × 2253824 − 1
וגם
620366307356565 × 2253824 − 1
76424 נובמבר 2009 זולטן ז'ראי, גבור פרקש, טימאה סאז'בוק, יאנוס קאזה ואנטאל ז'ראי[5][6]
1068669447 × 2211088 − 1 63553 מאי 2020 מיכאל קווק[7]
99064503957 × 2200008 − 1 60220 אפריל 2016 S. Urushihata[8]
607095 × 2176311 − 1 53081 ספטמבר 2009 טום וו[9]
48047305725 × 2172403 − 1 51910 ינואר 2007 דייוויד אנדרבקה באמצעות שימוש ב TwinGen ו LLR [10]
137211941292195 × 2171960 − 1 51780 מאי 2006 זולטן ז'ראי[11]

קישורים חיצונייםעריכה

הערות שולייםעריכה