חוג ויט

באלגברה מופשטת, חוג ויט (Witt Ring) של שדה F הוא החוג WF שאיבריו הם המרחבים הריבועיים מעל השדה, עד כדי שקילות ויט, יחד עם הפעולות המושרות על ידי הסכום הישר והמכפלה הטנזורית. חוג ויט ממיין את המרחבים הריבועיים האנאיזוטרופיים (מממד סופי) מעל השדה.

לאידיאל הראשי IF של חוג ויט WF, הכולל את התבניות מממד זוגי, והחזקות שלו, חשיבות רבה בתורת המבנה. השערת מילנור מקשרת את המנות $\ I^{n}F/I^{n+1}F$ לתורת K. תורת השדות הסדורים מספקת מידע על אידיאל הפיתול של חוג ויט.

המונח נקרא על שמו של המתמטיקאי ארנסט ויט, שעסק רבות בתורת התבניות הריבועיות.

תבניות ריבועיות

אם לא נאמר אחרת במפורש, $F$ הוא שדה ממאפיין שונה מ-2.

תבנית ריבועית מעל $F$ היא הפונקציה $\ q(x)=b(x,x)$, כאשר $\ b:V\times V\rightarrow F$ היא תבנית ביליניארית על מרחב (מממד סופי) V. מרחב וקטורי יחד עם תבנית ריבועית נקרא מרחב ריבועי $(V,q)$. מרחב ריבועי נקרא אנאיזוטרופי, אם $q(x)=0$ רק ל-$x=0$. בחירת בסיס למרחב V מאפשרת להציג את התבנית כפולינום הומוגני מדרגה 2. יתרה מזאת, במאפיין שונה מ-2 ניתן לבחור הצגה אלכסונית - $q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+...+a_{n}x_{n}^{2}$, ואז מסמנים $q=\langle a_{1},...,a_{n}\rangle$.

המרחב הריבועי הדו־ממדי $q=\langle 1,-1\rangle$ נקרא מישור היפרבולי, ומסומן $\mathbb {H}$. סכומים של עותקים שלו נקראים מרחב היפרבולי. לפי משפט, כל מרחב ריבועי $(V,q)$ אפשר להציג בצורה - $V=0\perp \mathbb {H} ^{m}\perp V'$ - חלק רדיקלי, חלק היפרבולי וחלק אנאיזוטרופי (לפרטים המלאים ראו בערך תבנית ריבועית).

משפט הצמצום של ויט קובע כי אם $V\perp \mathbb {H} ^{m}\cong V'\perp \mathbb {H} ^{m}$ אז $V\cong V'$, ולכן החלק האנאיזוטרופי של מרחב מוגדר היטב.

הגדרה

שני מרחבים ריבועיים $V,V'$ נקראים שקולים לפי ויט אם יש להם אותו חלק אנאיזוטרופי, כלומר אם יש $n\geq 0$ כך ש-$\mathbb {H} ^{n}\perp V\cong V'$. מחלקת השקילות של כל מרחב אנאיזוטרופי V היא $[V]=\{V\perp \mathbb {H} ^{n},n\geq 0\}$.

חוג ויט של השדה, המסומן $W(F)$, הוא החוג בו:

• האיברים הם מחלקות השקילות של היחס הנ"ל.
• החיבור הוא סכום ישר של מרחבים. מפורשות - $[\langle a_{1},...,a_{n}\rangle ]\perp [\langle b_{1},...,b_{m}\rangle ]=[\langle a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{m}\rangle ]$. איבר האפס הוא המחלקה של מישור היפרבולי.
• הכפל הוא מכפלה טנזורית של מרחבים ריבועיים. מפורשות, $[\langle a_{1},...,a_{n}\rangle ]\otimes [\langle b_{1},...,b_{m}\rangle ]=[\langle ...a_{i}b_{j}...\rangle ]$. איבר היחידה הוא $[\langle 1\rangle ]$.

פעולות אלו מוגדרות היטב, והופכות את $W(F)$ לחוג קומוטיבי.

כחבורה חיבורית, חוג ויט נוצר על ידי האיברים מהצורה $\langle a\rangle$. שתי תבניות כאלה הן שקולות אם ורק אם הסקלרים המגדירים אותן שקולים עד כדי ריבועים, כלומר שייכות לאותה מחלקה ב-$F^{\times }/F^{{\times }^{2}}$.

דוגמאות

• חוג ויט של שדה סגור אלגברית הוא $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, זאת משום ש-$\langle 1\rangle \cong \langle -1\rangle$, כלומר $\langle 1,1\rangle =0$. בפרט, $W(\mathbb {C} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.
• חוג ויט של שדה סגור ממשית הוא $\mathbb {Z}$. ניתן לבנות איזומורפיזם מפורש, על ידי סימן סילבסטר (ראו בפירוט בהמשך). בפרט, $W(\mathbb {R} )=\mathbb {Z}$.
• לשדה סופי מסדר $q$ (כאמור ממאפיין שונה מ-2) חוג ויט התלוי בהתחלקות הסדר ב-4:

• אם $q\equiv 3{\pmod {4}}$ אז $W(F)=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$.
• אם $q\equiv 1{\pmod {4}}$ אז $W(F)=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[t]/(t-1)^{2}$

העתקת הצמצום

תהי $K/F$ הרחבת שדות. כל תבנית ריבועית מעל $F$ היא גם תבנית מעל $K$.

פורמלית, העתקת הצמצום (restriction map) היא ההעתקה $res_{K/F}:W(F)\rightarrow W(K)$ המוגדרת על ידי $res_{K/F}[(V,q)]=[(V\otimes K,q_{K})]$, כאשר $q_{K}(v\otimes a)=a^{2}q(v)$. נסמן בקיצור $q_{K}=res_{K/F}(q)$; זהו הומומורפיזם של חוגים. כלומר, שיכון של שדות עובר להומומורפיזם של חוגים, ההופך בשפה קטגורית את ההתאמה של שדה לחוג ויט שלו לפונקטור בין קטגוריית השדות לקטגוריית החוגים הקומוטטיביים.

העתקת הצמצום יכולה להעביר תבנית אנאיזוטרופית לתבנית איזוטרופית ואף לתבנית היפרבולית. כעת נראה מהן תכונות ההעתקה.

כל הרחבת שדות ניתן לפרק ל מרכיב טרנסצנדנטי ומרכיב אלגברי מהצורה $F\subseteq F_{1}\subseteq K$. בנוגע לחלק הטרנסצנדנטי מתקיים:

משפט: אם $F_{1}/F$ הרחבה טרנסצנדנטית, אז $res_{F_{1}/F}$ מהווה שיכון חוגים (כלומר, היא חד-חד-ערכית).

בנוגע לחלק האלגברי, התאוריה מעט מסובכת יותר ותלויה בזוגיות ממד ההרחבה.

משפט: הגרעין של העתקת הצמצום של הרחבה ריבועית $K=F_{1}[\delta ]$ הוא האידיאל הנוצר על ידי $\langle \langle \delta ^{2}\rangle \rangle =\langle 1,-\delta ^{2}\rangle$, כאשר $\langle \langle \cdot \rangle \rangle$ היא תבנית פיסטר.

כלומר, מתקבלת סדרה מדויקת: $W(F_{1}){\overset {\_\cdot \langle \langle \delta ^{2}\rangle \rangle }{\longrightarrow }}W(F_{1}){\overset {res_{K/F_{1}}}{\longrightarrow }}W(K)$. כדי להשלים את הסדרה וכך ללמוד על תמונת העתקת הצמצום, מגדירים את העתקת הטרנספר - נגדיר $s:K\rightarrow F_{1}$ על ידי $s(1)=0,s(\delta )=1$, ונגדיר $s_{*}:W(K)\rightarrow W(F_{1})$ על ידי $s_{*}(q)(x)=s(q(x))$. מתקבלת הסדרה המדויקת: $W(F_{1}){\overset {\_\cdot \langle \langle \delta ^{2}\rangle \rangle }{\longrightarrow }}W(F_{1}){\overset {res_{K/F_{1}}}{\longrightarrow }}W(K){\overset {s_{*}}{\longrightarrow }}W(F_{1})$, ולכן התבנית $[q]\in W(K)$ היא צמצום של תבנית מ-$W(F_{1})$ אם ורק אם $s(q)$ היפרבולית.

בממד אי זוגי מתקיים:

משפט שפרינגר: אם $F_{1}/F$ הרחבה ממד אי זוגי, אז אם התבנית $q$ אנאיזוטרופית מעל $F$, כך גם $q_{K}$. בפרט, $res_{K/F_{1}}$ חד-חד-ערכית.

האינווריאנטים הראשונים

אחת השאלת המרכזיות על חוג ויט היא מחקר החזקות של האידיאל היסודי, הכולל את התבניות מממד זוגי.

פורמלית, אם $dim:W(F)\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ מתאימה לכל מרחב ריבועי את זוגיות הממד שלו, מסמנים $I(F)=ker(dim)$. כלומר, $I(F)$ הוא אוסף מחלקות השקילות של תבניות מסדר זוגי. זוגיות הממד מודולו 2 מוגדרת היטב, משום שכל מישור היפרבולי הוא מממד זוגי. האידיאל $I(F)$ נוצר על ידי כל התבניות מהצורה $<a,b>$, או מהצורה $\langle 1,{\frac {b}{a}}\rangle =\langle 1,-c\rangle =\langle \langle c\rangle \rangle$, כאשר $\langle \langle \cdot \rangle \rangle$ היא תבנית פיסטר.

כעת, מגדירים $\forall n\geq 2:I^{n}(F)=I^{n-1}(F)\cdot I$. הם נוצרים על ידי מכפלת $n$ תבניות פיסטר דו-ממדיות, כלומר מהצורה $\langle \langle c_{1},...,c_{n}\rangle \rangle :=\langle \langle c_{1}\rangle \rangle \otimes ...\otimes \langle \langle c_{n}\rangle \rangle$.

אנו מתעניינים בשרשרת האידיאלים $W({F})\supseteq I(F)\supseteq {I}^{2}(F)\supseteq ...$ והמנות שלהם. נסקור את מבנה המנות $I^{n}(F)/I^{n+1}(F)$ עבור $n$ קטן, ונציג את האינווריאנטים הראשונים. בתת-הנושא הבא נראה את התורה הכללית.

האינווריאנט האפס

כאמור לעיל, ההעתקה $dim:W(F)\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ הממפה מרחב אל זוגיות הממד שלו מוגדרת היטב, מהווה הומומורפיזם ובעלת גרעין $I(F)$, ולכן לפי משפט נתר הראשון מתקיים $W(F)/I(F)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$. אפשר גם להוכיח כי $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ מתקבלת כמנה של חוג ויט רק על ידי $I(F)$.

המנות הראשוניות של חוג ויט הן כולן ציקליות (כלומר מנות של חוג השלמים).

האינווריאנט הראשון

כעת נרצה להבין מהי המנה $I(F)/I^{2}(F)$.

הדטרמיננטה של מרחב ריבועי היא הדרמיננטה של המטריצה המייצגת שלו, המוגדרת עד כדי ריבועים, כלומר במרחב $F^{\times }/F^{\times ^{2}}$. עם זאת, היא לא מוגדרת היטב על מחלקות בחוג ויט, כי $det(\mathbb {H} )=-1$. לכן, מגדירים את הדיסקרימיננטה - $disc:I(F)\rightarrow F^{\times }/F^{\times ^{2}}$, המוגדרת היטב ובעלת גרעין $I^{2}(F)$, ולכן מהווה איזומורפיזם ${\overline {disc}}:I(F)/I^{2}(F){\xrightarrow {_{\sim }}}F^{\times }/F^{\times ^{2}}$.

מבנה המנה $F^{\times }/F^{\times ^{2}}$ מעיד גם על היותו של חוג ויט נותרי - $W(F)$ נותרי אם ורק אם המנה $F^{\times }/F^{\times ^{2}}$ סופית.

האינווריאנט השני

המנה $I^{2}(F)/I^{3}(F)$ והאינווריאנט השני מעט מסובכים יותר.

ניזכר כי אלגברת קליפורד של מרחב ריבועי היא $C(V,q)=F[v_{1},...,v_{n}|v_{i}v_{j}=-v_{j}v_{i},v_{i}^{2}=q(v)]$ (ובקיצור $C(q)$)כאשר הממד זוגי היא מהווה אלגברה פשוטה מרכזית מעל שדה הבסיס, ולכן משרה מחלקת שקילות בחבורת בראואר. במילים אחרות, מקבלים העתקה $\gamma :I(F)\rightarrow Br(F)$, הנתונה על ידי $[q]\mapsto [C(q)]$. ההעתקה מוגדרת היטב, משום שלכל תבנית ממד זוגי מתקיימת הזהות $C(q\perp q')\cong C(q)\otimes C(\langle \langle disc(q)\rangle \rangle \cdot q')$, ובפרט $C(q\perp \mathbb {H} )\cong C(q)$. כעת, כאמור לעיל, $disc$ אדישה לתבניות מ-$I^{2}(F)$, ולכן צמצום ההעתקה $\gamma :I^{2}(F)\rightarrow Br(F)$ מהווה הומומורפיזם. אפשר להוכיח כי היא משרה איזומורפיזם ${\overline {\gamma }}:I^{2}(F)/I^{3}(F){\xrightarrow {_{\sim }}}_{2}Br(F)$, כאשר $_{2}Br(F)$ היא חבורת בראואר מפיתול 2.

האינווריאנטים הגבוהים ותורת K

כעת נציג את התורה הכללית ואת מבנה המנות $I^{n}(F)/I^{n+1}(F)$ הקשורה לתורת K.

לכל חוג $R$ מותאמת חבורה אבלית $K_{n}(R)$, הנקראת חבורת $K$ ה-$n$ית של מילנור. זוהי החבורה האבלית החופשית בסמלים $\{a_{1},...,a_{n}\}$, יחד עם היחסים:

• $(a_{1},...,a_{i}a_{i'},...a_{n})=(a_{1},...,a_{i},...a_{n})+(a_{1},...,a_{i'},...a_{n})$
• $(...a,..,1-a,...)=0$.

נסמן $k_{n}(F)\cong K_{n}(F)/2K_{n}(F)$.

כעת, השערת מילנור טוענת כי $I^{n}(F)/I^{n+1}(F)\cong k_{n}(F)$. העתקת האיזומורפיזם היא $f_{n}:k_{n}(F)\rightarrow I^{n}(F)/I^{n+1}(F)$, הנתונה על ידי $f_{n}(a_{1},...,a_{n})=\langle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle \rangle$, כאשר $\langle \langle \cdot \rangle \rangle$ היא תבנית פיסטר.

קל לראות את קיום הטענה ל$n=0,1$: $K_{0}(F)$ היא החבורה הנוצרת על ידי הסמל הריק $()$, ולכן היא בדיוק $K_{0}(F)=\mathbb {Z}$. $K_{1}(F)$ היא החבורה הנוצרת על ידי הסמל $\{a\}$, עם היחס ${aa'}={a}+{a'}$, והיא בדיוק $K_{1}(F)=F^{\times }$.

טיעונים יותר מסובכים מראים כי גם במקרה $n=2$ ההגדרות מסתדרות (ראו בקריאה נוספת לפרטים מדויקים).

חוג ויט ושדות סדורים

תורת השדות הסדורים קשורה הדוקות לחוג ויט.

שדה סדור הוא שדה בו ניתן להציב קבוצת חיוביים $P$ הסגורה לחיבור וכפל, ו-$F^{\times }=P\cup -P$. כל שדה סדור הוא ממאפיין אפס. שדה סדור הוא אוקלידי אם כל איבר חיובי בו הוא ריבוע של איבר אחר. שדה הוא סגור ממשית אם הוא אוקלידי ולכל פולינום ממעלה אי זוגית בו יש שורש.

שדה נקרא ניתן לסידור אם ניתן להגדיר עליו סדר. לפי משפט ארטין-שרייר, שדה ניתן לסידור אם ורק אם $-1$ איננו סכום של ריבועים, ולכל איבר $a$ שאינו סכום של ריבועים יש סדר בו $a<0$. שדה הוא פיתגורי אם כל ריבוע איבר בו הוא סכום של שני ריבועים.

סימן סילבסטר

כעת, יהי $F$ שדה סדור עם סדר $\alpha$. ההעתקה $sign_{\alpha }:W(F)\rightarrow \mathbb {Z}$, הנקראת סימן סילבסטר, היא ההעתקה הממפה תבנית $q=\langle a_{1},...,a_{n}\rangle$ למספר האיברים החיוביים פחות השליליים בה. ההעתקה מוגדרת היטב לפי משפט ההתמדה של סילבסטר, ומהווה אפימורפיזם חוגים. אם השדה אוקלידי (ובפרט שדה סגור ממשית) ההעתקה מהווה איזומורפיזם חוגים.

בשדות פיתגוריים

בשדות פיתגוריים מקבלים תורת מבנה מפורשת, המתחלקת לשדה סדור ושדה לא סדור:

משפט: התכונות הבאות שקולות עבור שדה $F$:

• $F$ פיתגורי ולא ניתן לסידור.
• $F$ סגור לריבועים.
• $W(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

בפרט אפשר לשים לב שיש 2-פיתול בחוג ויט.

משפט: התכונות הבאות שקולות עבור שדה $F$:

• $F$ פיתגורי וניתן לסידור.
• $W(F)$ חסר פיתול.
• $W(F)$ חסר 2-פיתול.

מרחב הסידורים

מרחב הסידורים של השדה הוא אוסף כל הסידורים שלו, המסומן $\mathbb {O} _{F}$. מתקיימת ההתאמה הבאה:

משפט: ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין סידורים של שדה לאידיאלים ראשוניים של חוג ויט הלא מכילים את 2.

מפורשות, בהינתן אידיאל כנ"ל, נגדיר קבוצת חיוביים: $Pos=\{a\in F:\langle \langle a\rangle \rangle \in P\}$. בכיוון ההפוך, בהינתן קבוצת חיוביים $Pos\subseteq F^{\times }$, מגדירים את $P$ להיות האידיאל הנוצר על ידי תבניות פיסטר של איברים מ-$Pos$.

את מרחב הסידורים ניתן לאפיין כך: $\mathbb {O} _{F}=\{f:F^{\times }\rightarrow \{\pm 1\}:kerf\quad is\quad closed\quad under\quad +\}$. הוא משוכן באופן טבעי במרחב $\{\pm 1\}^{F^{\times }}$, עליו מוגדרת טופולוגיה - מכפלת טיכונוף, כאשר על $\{\pm 1\}$ טופולוגיה דיסקרטית. $\mathbb {O} _{F}$ מקבל את טפולוגיית תת-המרחב. מתקבל כך מרחב בוליאני, כלומר מרחב האוסדורף, בלתי קשיר לחלוטין וקומפקטי לפי משפט טיכונוף.

ל-$\mathbb {O} _{F}$ יש את תת הבסיס המורכב מהקבוצות הפתוחות והסגורות $H_{a}=\{f:F^{\times }\rightarrow \{\pm 1\}:f(a)=1\}$.

כעת, מגדירים את הסימן הגלובלי כפונקציה $c:W(F)\rightarrow Maps(\mathbb {O} _{F},\mathbb {Z} )$, על ידי $c([q])=\{\alpha \mapsto sign_{\alpha }(q)\}$. ניתן להוכיח כי תמונת המיפוי מוכלת באוסף הפונקציות הרציפות, כלומר $c:W(F)\rightarrow C(\mathbb {O} _{F},\mathbb {Z} )$. ההעתקה מהווה הומומורפיזם, עם גרעין $_{2^{\infty }}W(F)$ - הוא קבוצת ה-$2^{\infty }$-פיתול של $W(F)$, ובעלת קו-גרעין המהווה אף הוא קבוצה בעלת 2-פיתול.

ייצוגים על ידי יוצרים ויחסים

השערת מילנור שנסקרה לעיל מספקת יצוג באמצעות יוצרים ויחסים לכל המנות $\ I^{n}F/I^{n+1}F$. עבור ערכים נמוכים של n ידוע יצוג כזה גם לאידיאלים $\ I^{n}F$ עצמם

• חוג ויט $WF$ נוצר על ידי ה(מחלקות של ה)תבניות הביליניאריות החד-ממדיות $\ \langle a\rangle$ (לכל a שונה מאפס), עם היחסים $\ \langle 1\rangle +\langle -1\rangle =0$, $\ \langle ab^{2}\rangle =\langle a\rangle$, ו-$\ \langle a\rangle +\langle b\rangle =\langle a+b\rangle +\langle ab(a+b)\rangle$ המתארים את החלק האדיטיבי, והיחס $\ \langle a\rangle \langle b\rangle =\langle ab\rangle$ המגדיר את פעולת הכפל.
• האידיאל היסודי $\ I^{1}F$ נוצר על ידי תבניות פיסטר $\ \langle \langle a\rangle \rangle$ (לכל $\ a\neq 0$) עם היחסים $\ \ \langle \langle 1\rangle \rangle =0$, $\ \langle \langle ab^{2}\rangle \rangle =\langle \langle a\rangle \rangle$ ו-$\ \langle \langle a\rangle \rangle +\ \langle \langle b\rangle \rangle =\ \langle \langle a+b\rangle \rangle +\ \langle \langle ab(a+b)\rangle \rangle$ כל אימת ש-$\ a+b\neq 0$.
• ריבוע האידיאל היסודי, $\ I^{2}F$ נוצר כחבורה חיבורית על ידי התבניות $\ \langle \langle a,b\rangle \rangle$ (לכל $\ a,b\neq 0$) עם היחסים $\ \ \langle \langle 1,1\rangle \rangle =0$; $\ \langle \langle a,b\rangle \rangle =\langle \langle c,d\rangle \rangle$ אם התבניות איזוטרופיות; ו-$\ \langle \langle ab,c\rangle \rangle +\ \langle \langle a,b\rangle \rangle =\ \langle \langle a,bc\rangle \rangle +\ \langle \langle b,c\rangle \rangle$.

מודול ויט במאפיין 2

במאפיין שונה מ-2 אפשר לזהות תבניות ריבועיות וביליניאריות. במאפיין 2 הקשר בין שני סוגי התבניות מסובך יותר, ולכן נחזור על ההגדרה של חוג ויט במקרה הכללי, התקף גם במאפיין 2. חוג ויט הוא חוג-גרותנדיק של התבניות ה*ביליניאריות* הסימטריות הלא-מנוונות, מודולו תבניות היפרבוליות. כל תבנית ביליניארית סימטרית אנאיזוטרופית מתאימה לאיבר יחיד בחוג ויט. תבנית ביליניארית שקולה בחוג ויט לאפס, אם ורק אם היא מטאבולית.

המודול של ויט, $\ I_{q}(F)$, הוא חבורת גרותנדיק של המונויד של התבניות ה*ריבועיות* הלא-מנוונות מממד זוגי, מודולו המרחבים ההיפרבוליים. המודול נוצר על ידי ה(מחלקות של ה)תבניות הדו-ממדיות $\ [a,b]$ (המייצגות את התבניות $\ q(x_{1},x_{2})=ax_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+bx_{2}^{2}$). כחבורה אבלית, הוא מוגדר על ידי היחסים $\ [a,b]+[a,c]=[a,b+c]$, $\ [a,bc^{2}]=[ac^{2},b]$ ו-$\ [a,ac^{2}+c]=0$. פעולת הכפל בסקלר מושרית על ידי המכפלה הטנזורית של תבניות, ואפשר להגדיר אותה גם על ידי הפעולה של יוצרים על יוצרים, $\ \langle c\rangle [a,b]=[ca,c^{-1}b]$. מודול ויט נוצר, כמודול מעל חוג ויט, על ידי תבניות פיסטר הריבועיות $\ \langle \langle a]]=[1,a]$.

על המודול של ויט מוגדר אינווריאנט ארף , לפי $\ \operatorname {Arf} ([a_{1},b_{1}]\perp \cdots \perp [a_{n},b_{n}])=\sum a_{i}b_{i}\in F/\wp {F}$, כאשר $\ \wp {F}=\{c^{2}+c:c\in F\}$. הגרעין של אינווריאנט ארף הוא $\ I_{q}^{2}(F)=I(F)\cdot I_{q}(F)$. ייצוג של $\ I_{q}^{2}F$ עם היוצרים $\ [[a,b]]=[[a]]\otimes [[ab\rangle \rangle$ נתון על ידי היחסים הבאים: הסמל בי-אדיטיבי וסימטרי; $\ [[a,1]]=0$; $\ [[a,bc^{2}]]=[[ac^{2},b]]$; $\ [[a,ac^{2}]]=[[a,c]]$ [1](הקישור אינו פעיל). באופן כללי מסמנים $\ I_{q}^{n}(F)=I(F)^{n-1}I_{q}(F)$.

ראו גם

• תבנית ריבועית
• תבנית פיסטר
• תורת האינווריאנטים
• תורת K
• שדה סדור

לקריאה נוספת

• עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.
• Pete L. Clark, Quadratic forms over fields II: Structure of the Witt Ring