תחום של פונקציה

במתמטיקה, תחום של פונקציה הוא קבוצת הערכים שהפונקציה יכולה לקבל כקלט. נהוג לסמן את התחום של הפונקציה $f$ על ידי $\operatorname {dom} (f)$, בעקבות המינוח האנגלי: Domain (דוֹמֵיְין).

פונקציה $f$ מ-$X$ ל-$Y$. קבוצת הנקודות באליפסה האדומה מייצגת את $X$, התחום של $f$.

הגדרה

עבור פונקציה $f\colon X\to Y$, התחום של $f$ הוא $X$, והטווח שלה הוא $Y$. במתמטיקה המודרנית, התחום הוא חלק מהפונקציה ולא מאפיין שלה.

במקרה ש-$X$ ו-$Y$ הן תתי-קבוצות של $\mathbb {R}$, מגדירה גרף במערכת צירים קרטזית. כלומר, ניתן לשרטט את גרף הפונקציה $f$ על שני צירים אנכיים. במקרה זה, התחום מיוצג כהטלה של גרף הפונקציה על ציר ה-$x$.

בפונקציה $f\colon X\to Y$ הקבוצה $Y$ נקראת טווח, וקבוצת הערכים שהפונקציה מוציאה נקראת תמונה. התמונה היא תמיד תת-קבוצה של הטווח. אם הן שוות אז $f$ היא פונקציה על.

ניתן לצמצם כל פונקציה לתת-קבוצה של התחום שלה. אם $A\subseteq X$ הצמצום של $f\colon X\to Y$ ל-$A$, כאשר $A\subseteq X$ ייכתב כך: $\left.f\right|_{A}\colon A\to Y$ .

תחום ההגדרה

הגרף של פונקציית השורש הריבועי הממשית $f(x)={\sqrt {x}}$. התחום שלה מורכב מכל המספרים הממשיים האי-שליליים.

אם פונקציה ממשית $f$ ניתנת על ידי נוסחה, ייתכן שהיא לא מוגדרת עבור חלק מהערכים של המשתנה. במקרה זה, מדובר בפונקציה חלקית, וקבוצת המספרים הממשיים שעליה ניתן להעריך את הנוסחה למספר ממשי נקראת תחום ההגדרה של $f$. בהקשרים רבים, פונקציה חלקית נקראת פשוט פונקציה, ותחום ההגדרה שלה נקרא פשוט התחום שלה.

דוגמאות

• הפונקציה $f$ המוגדרת על ידי $f(x)={\frac {1}{x}}$ לא מוגדרת כאשר $x=0$. לכן תחום ההגדרה של $f$ הוא קבוצת המספרים הממשיים למעט $0$, ניתן לסמן זאת $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ או $\{x\in \mathbb {R} |\ x\neq 0\}$ .
• הפונקציה המפוצלת $f$ המוגדרת על ידי $f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}$ תחום ההגדרה קבוצת המספרים הממשיים ($\mathbb {R}$).
• לפונקציית השורש הריבועי $f(x)={\sqrt {x}}$ תחום ההגדרה של קבוצת המספרים האי שליליים, המסומנת על ידי $\mathbb {R} _{\geq 0}$ או הקטע $[0,\infty )$ או הקבוצה $\{x\in \mathbb {R} |\ x\geq 0\}$.
• לפונקציה הטריגונומטרית מסומנת $\tan(x)$, יש את תחום ההגדרה קבוצת כל המספרים הממשיים שאינם מהצורה ${\tfrac {\pi }{2}}+k\pi$ עבור $k$ מספר שלם כלשהו.

תורת הקבוצות

לפעמים נוח בתורת הקבוצות לאפשר לתחום של פונקציה להיות מחלקה נאותה X. במקרים אלו אין דבר כזה כמו השלשה הסדורה (X, Y, G). עם הגדרה כזו, לפונקציות אין תחום, אם כי חלק מהכותבים עדיין משתמשים בו באופן לא פורמלי לאחר הצגת פונקציה מהצורה $f\colon X\to Y$.

קישורים חיצוניים

• תחום של פונקציה, באתר MathWorld (באנגלית)