מספר הופכי

מספר הופכי (לעיתים נקרא הופכי כפלי) למספר נתון הוא מספר שמכפלתו במספר הנתון שווה ל-1 (איבר היחידה ביחס לכפל). לדוגמה: המספר ההופכי של 3 הוא ${1 \over 3}$, והמספר ההופכי של ${1 \over 3}$ הוא 3. היחס "הופכי של" הוא יחס סימטרי, ולכן ניתן לדבר על זוג מספרים הופכיים, שהם זוג מספרים שכל אחד מהם הוא ההופכי של משנהו. במספרים הממשיים (ובכל שדה) קיים הופכי כפלי לכל מספר למעט המספר 0 (אפס).

מסמנים את המספר ההופכי ל-x כך:

$x^{-1}={1 \over x}$

הופכי קיים לא רק בכפל רגיל, אלא גם בחשבון מודולרי כאשר בסיס המודול הוא מספר ראשוני. וזאת משום שבמקרה זה המודול הוא שדה. למשל, בחשבון מודולו 7, ההופכי של 3 הוא 5 (כי 15 שקול ל-1 מודולו 7). הופכי כזה נקרא הופכי כפלי מודולרי.

תכונות של מספרים הופכיים

• לכל מספר מלבד 0 קיים מספר הופכי אחד ויחיד.
• 1 הוא ההופכי של 1. כל מספר חיובי גדול מ-1 הוא הופכי למספר קטן מ-1 וגדול מ-0.
• ההופכי להופכי של מספר נתון – הוא המספר הנתון עצמו.

הסיבה של-0 אין הופכי היא שכפל של כל מספר באפס הוא אפס (זה נובע מהתכונה שאפס נייטרלי לחיבור, כלומר שכל מספר ועוד אפס שווה לעצמו), ועל כן לא קיים מספר שמכפלתו ב-0 תיתן 1.

איבר הופכי

במבנה אלגברי כלשהו, ובפרט בחבורה בה הפעולה הבינארית היא כפל, ההכללה של המושג מספר הופכי היא איבר הופכי: לכל איבר במבנה קיים איבר הופכי לו, כך שמכפלתם היא איבר היחידה של החבורה.

גם במבנה הנקרא חוג, לכל איבר, פרט לאיבר האפס, יכול להתקיים הופכי ביחס לכפל. חוג קומוטטיבי, שלכל איבר ששונה מאפס בו קיים הופכי כפלי, נקרא שדה.

ראו גם

• מספר נגדי
• יחס הפוך
• הופכי כפלי מודולרי

קישורים חיצוניים

• מספר הופכי, באתר MathWorld (באנגלית)