אי-שוויון מינקובסקי

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא וריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופיעריכה

עבור  , מגדירים את נורמת   של וקטור   לפי הנוסחה  .

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי:  , לכל שני וקטורים  .

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת   מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחהעריכה

נוכיח את נכונות אי-השוויון.

לפי אי-שוויון המשולש:

 

כעת, לפי אי-שוויון הולדר:

 

ולכן:  , ולאחר צמצום נקבל  .

בתורת המידהעריכה

  ערך מורחב – מרחב Lp

בתורת המידה, נורמה-  של פונקציה על מרחב מידה   מוגדרת כך -  . המרחב   הוא אוסף כל הפונקציות עבורן  ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי -  , ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה   מתקבל מרחב הילברט  .

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי  ; הוא מתקבל עבור המרחב  , כאשר   ו-  היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה