שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.
אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
יתרה מזאת, לכל , יחד עם נורמת (או פשוט נורמת-p) מהווה מרחב בנך, כלומר הנורמה שלמה. מרחב זה מסומן לעיתים על ידי .
לעיתים מגדירים את להיות המרחב הווקטורי מעל שדה המספרים המרוכבים. ההגדרות הן כלעיל (הפעם הערך המוחלט הוא מרוכב), והתכונות הן אותן תכונות (בפרט, מתקבל מרחב בנך).
מגדירה מספר ממשי אי-שלילי אם , אבל ההעתקה המתקבלת איננה נורמה, מכיוון שהיא לא מקיימת את אי-שוויון המשולש. למרות זאת, הפונקציה
היא מטריקה. בדומה למקרה , נהוג לסמן את המרחב המטרי ב- וגם אותו ניתן להגדיר בדומה מעל המרוכבים.
אף על פי שכדור היחידה במטריקה , המסומן , הוא "קעור" (קרי, לא קמור), הטופולוגיה המושרית על על ידה היא הטופולוגיה הסטנדרטית על ולכן הוא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית. מעבר לטענה איכותית זו, דרך כמותית למדוד את חוסר הקמירות של היא להתבונן ב-, הקבוע הקטן ביותר שעבורו הניפוח של כדור היחידה בנורמת-p מכיל את הקמור של (שהוא למעשה לכל ). מסתבר שמתקיים לכל טבעי. העובדה שערך זה שואף לאינסוף כאשר (עבור קבוע) משקפת את העובדה שמרחב הסדרות האינסוף-ממדי (המוגדר למטה) הוא כבר לא קמור מקומית.
שהוא פשוט מספר הרכיבים השונים מאפס בוקטור . אם נגדיר , אז נורמת האפס של שווה ל-. זוהי אינה נורמה במובן הרגיל של המילה, אך היא יכולה לשמש למדידת דלילות, למשל בתחום של Compressed sensing.
ניתן לשים לב שבמקרים הקודמים התחלנו מקבוצות סופיות, עברנו לבנות מנייה, וכעת נרצה לעבור לעוצמה כללית - מסדרות סופיות, לסדרות בנות מנייה, נעבור לפונקציות, ובמקום סכימה נבצע אינטגרציה.
פורמלית, עבור מגדירים את עבור מרחב מידה ושדה להיות-
כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג. מגדירים את נורמת-p להיות . מיפוי זה איננו נורמה, מפני שפונקציות ששוות כמעט בכל מקום לאפס, עדיין יחזירו אינטגרל אפס. כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את המרחב שאיבריו הוא אוסף מחלקות השקילות עד כדי שוויון כמעט בכל מקום. כעת, היא אכן נורמה - היא חיובית והומוגנית חיובית, ומקיימת את אי שוויון המשולש - זהו אי-שוויון מינקובסקי. המרחבים גם שלמים - ניתן להוכיח זאת בשימוש משפטי התכנסות מתורת המידה (למשל, משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג).
המקרה הוא מקרה מיוחד, מפני שבמקרה זה המרחב הוא אף מרחב הילברט - מרחב מכפלה פנימית שלם מעל השדה, כאשר המכפלה הפנימית היא . זוהי דוגמה קלאסית למרחב הילברט, ולמעשה ידוע יותר מכך - כל מרחב הילברט איזומורפי למרחב , כאשר קבוצה כלשהי.
במקרה אי אפשר להגדיר, כמו במקרה הסופי, את להיות אוסף הפונקציות החסומות, משום שפונקציה יכולה לקבל את הערך אינסוף על קבוצה ממידה אפס. כדי להתגבר על הבעיה, מגדירים essential supremum של פונקציה:
משפט: במרחב ממידה סופית, אם במידה שווה, אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p.
תכונה טופולוגית נוספת של המרחב, היא שאוסף הפונקציות הפשוטות היא קבוצה צפופה ב-. ניתן לראות זאת בקלות לפי המשפטים לעיל - ידוע שלכל פונקציה אינטגרבילית יש סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות שמתכנסת אליה, ומפני שמתקיים , נקבל שיש התכנסות גם בנורמת-p. למעשה, המרחב הוא ההשלמה של מרחב הפונקציות הפשוטות שיושב בו.