מרחב Lp

באנליזה מתמטית, מרחבי L^p הם מרחבי פונקציות על מרחב מידה, המוגדרים על ידי הכללה טבעית של נורמות-p של מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים. הם מהווים מחלקה חשובה של דוגמאות למרחבי בנך ולמרחבים וקטוריים טופולוגיים. יש להם שימושים בפיזיקה, סטטיסטיקה, כלכלה, הנדסה ובתחומים אחרים. לעיתים הם קרויים מרחבי לבג, על שמו של אנרי לבג.

מרחבי l^p_n מממד סופי

הנורמה האוקלידית על המרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$ היא זו המושרית מן המכפלה הפנימית הסטנדרטית: האורך של וקטור $x=\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ נתון על ידי $\|x\|_{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)^{1/2}$.

אך זוהי בהחלט לא הדרך היחידה להגדיר 'אורך' ב-$\mathbb {R} ^{n}$. אם $p\geq 1$ הוא מספר ממשי, נגדיר את נורמת ${\ell }^{p}$ של וקטור $x$ להיות

$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$

(ולכן נורמת ${\ell }_{n}^{2}$ היא הנורמה האוקלידית המוכרת, בעוד שהמרחק בנורמת ${\ell }_{n}^{1}$ ידוע בתור מטריקת מנהטן).

ניתן גם להגדיר נורמה ל-$p=\infty$ על ידי

$\|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\right\}$

למעשה מתקיים $\left\Vert x\right\Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left\Vert x\right\Vert _{p}$ ולכן מקובל סימון זה. נורמה זו ידועה בשמות נורמת הסופרמום, נורמת המקסימום או נורמת התכנסות במידה שווה.

לכל $p\geq 1$ ההגדרות לעיל מקיימות את התכונות של נורמה. מפורשות:

• חיוביות - $||x||_{p}\geq 0$ ו-$||x||_{p}=0$ אם ורק אם $x=0$,
• הומוגניות חיובית - $||c\cdot x||_{p}=|c|\cdot ||x||_{p}$, ו-
• אי-שוויון המשולש (ובמקרה פרטי זה קרוי גם אי-שוויון מינקובסקי) - $||x+y||_{p}\leq ||x||_{p}+||y||_{p}$.

יתרה מזאת, לכל $p\geq 1$,$\mathbb {R} ^{n}$ יחד עם נורמת ${\ell }^{p}$ (או פשוט נורמת-p) מהווה מרחב בנך, כלומר הנורמה שלמה. מרחב זה מסומן לעיתים על ידי $\ell _{n}^{p}$.

לעיתים מגדירים את $\ell _{n}^{p}$ להיות המרחב הווקטורי $\mathbb {C} ^{n}$ מעל שדה המספרים המרוכבים. ההגדרות הן כלעיל (הפעם הערך המוחלט הוא מרוכב), והתכונות הן אותן תכונות (בפרט, מתקבל מרחב בנך).

p בין 0 ל-1

ב-$\mathbb {R} ^{n}$ כאשר $n>1$, הנוסחה

$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$

מגדירה מספר ממשי אי-שלילי אם $0<p<1$, אבל ההעתקה המתקבלת $x\mapsto \left\Vert x\right\Vert _{p}$ איננה נורמה, מכיוון שהיא לא מקיימת את אי-שוויון המשולש. למרות זאת, הפונקציה

$d_{p}\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert _{p}^{p}=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}$

היא מטריקה. בדומה למקרה $p\geq 1$, נהוג לסמן את המרחב המטרי $\left(\mathbb {R} ^{n},d_{p}\right)$ ב-$\ell _{n}^{p}$ וגם אותו ניתן להגדיר בדומה מעל המרוכבים.

אף על פי שכדור היחידה במטריקה $d_{p}$, המסומן $B_{n}^{p}$, הוא "קעור" (קרי, לא קמור), הטופולוגיה המושרית על $\mathbb {R} ^{n}$ על ידה היא הטופולוגיה הסטנדרטית על $\mathbb {R} ^{n}$ ולכן $\ell _{n}^{p}$ הוא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית. מעבר לטענה איכותית זו, דרך כמותית למדוד את חוסר הקמירות של $\ell _{n}^{p}$ היא להתבונן ב-$C_{p}\left(n\right)$, הקבוע הקטן ביותר $C$ שעבורו הניפוח $C\cdot B_{n}^{p}$ של כדור היחידה בנורמת-p מכיל את הקמור של $B_{n}^{p}$ (שהוא למעשה $B_{n}^{1}$ לכל $0<p<1$). מסתבר שמתקיים $C_{p}\left(n\right)=n^{-1+1/p}$ לכל $n$ טבעי. העובדה שערך זה שואף לאינסוף כאשר $n\to \infty$ (עבור $0<p<1$ קבוע) משקפת את העובדה שמרחב הסדרות האינסוף-ממדי $\ell ^{p}$ (המוגדר למטה) הוא כבר לא קמור מקומית.

p=0

במתמטיקה בדידה, נורמת-p מוגדרת גם עבור $p=0$ לפי

$\left\Vert x\right\Vert _{0}=\lim _{p\searrow 0}\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots +\left|x_{n}\right|^{p}\right)$

שהוא פשוט מספר הרכיבים השונים מאפס בוקטור $x$. אם נגדיר $0^{0}=0$, אז נורמת האפס של $x$ שווה ל-$\left|x_{1}\right|^{0}+\cdots +\left|x_{n}\right|^{0}$. זוהי אינה נורמה במובן הרגיל של המילה, אך היא יכולה לשמש למדידת דלילות, למשל בתחום של Compressed sensing.

מרחבי L^p מממד בן מניה

כהכללה של הממד הסופי, מגדירים את המרחב $\ell ^{p}$ להיות אוסף הסדרות $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ כך ש-$\sum _{n=1}^{\infty }{|x_{n}|^{p}}<\infty$, ומגדירים את נורמת-p להיות $||x_{n}||_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{n=1}^{\infty }{|x_{n}|^{p}}}}$.

כאשר $p=\infty$ מגדירים, כמו במקרה הסופי, $||\{x_{n}\}||_{\infty }=sup\{x_{n}\}$, וגם כאן מתקיים $\left\Vert x\right\Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left\Vert x\right\Vert _{p}$ .

המרחבים שמתקבלים בבנייה זו גם הם מרחבי בנך. ניתן להוכיח זאת ישירות, אך החלק הבא מסביר זאת בצורה טובה מאוד.

מרחבי L^p ממד כללי

ניתן לשים לב שבמקרים הקודמים התחלנו מקבוצות סופיות, עברנו לבנות מנייה, וכעת נרצה לעבור לעוצמה כללית - מסדרות סופיות, לסדרות בנות מנייה, נעבור לפונקציות, ובמקום סכימה נבצע אינטגרציה.

פורמלית, עבור $1\leq p<\infty$ מגדירים את ${\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {K} ,X,S,\mu )$ עבור מרחב מידה $(X,S,\mu )$ ושדה $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ להיות-

${\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {K} ,X,S,\mu )=\{f:X\to \mathbb {K} :\int _{X}{|f|^{p}d\mu }<\infty \}$

כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג. מגדירים את נורמת-p להיות $||f||_{p}={\sqrt[{p}]{\int _{X}{|f|^{p}}d\mu }}$. מיפוי זה איננו נורמה, מפני שפונקציות ששוות כמעט בכל מקום לאפס, עדיין יחזירו אינטגרל אפס. כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את המרחב $L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )$ שאיבריו הוא אוסף מחלקות השקילות עד כדי שוויון כמעט בכל מקום. כעת, $||\cdot ||_{p}$ היא אכן נורמה - היא חיובית והומוגנית חיובית, ומקיימת את אי שוויון המשולש - זהו אי-שוויון מינקובסקי. המרחבים גם שלמים - ניתן להוכיח זאת בשימוש משפטי התכנסות מתורת המידה (למשל, משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג).

מרחבי $L^{p}$ הם הדוגמה הקלאסית למרחב בנך באנליזה ובטופולוגיה.

במקרה p=2

המקרה $p=2$ הוא מקרה מיוחד, מפני שבמקרה זה המרחב $L^{2}$ הוא אף מרחב הילברט - מרחב מכפלה פנימית שלם מעל השדה, כאשר המכפלה הפנימית היא $<f,g>=\int _{X}{f\cdot {\overline {g}}d\mu }$. זוהי דוגמה קלאסית למרחב הילברט, ולמעשה ידוע יותר מכך - כל מרחב הילברט איזומורפי למרחב $L^{2}(A,P(A),\#)$, כאשר $A$ קבוצה כלשהי.

המקרה ∞=p

במקרה $p=\infty$ אי אפשר להגדיר, כמו במקרה הסופי, את $L^{\infty }$ להיות אוסף הפונקציות החסומות, משום שפונקציה יכולה לקבל את הערך אינסוף על קבוצה ממידה אפס. כדי להתגבר על הבעיה, מגדירים essential supremum של פונקציה:

$\operatorname {esssup} f=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}$

והמרחב $L^{\infty }$ הוא אוסף הפונקציות עבורן $\operatorname {esssup} |f|<\infty$, הנקראות גם פונקציות חסומות בעיקר (essentially bounded functions). המרחב שמתקבל אף הוא מרחב בנך, ומתקיים $||f||_{\infty }=\lim _{p\rightarrow \infty }{||f||_{p}}$. מרחב זה חשוב במיוחד בתורת המרחבים המטריים והשלמות, ראו מרחב מטרי שלם.

ביחס למקרים הקודמים

המקרה הסוף-ממדי $\ell _{n}^{p}$ מתקבל כמקרה פרטי של $L^{p}$, עבור $X=\{1,...,n\}$ ו-$\mu =\#$ מידת הספירה (הסופרת כמה איברים יש בקבוצה).

המקרה הבן-מנייה מתקבל עבור $X=\mathbb {N}$ ומידת הספירה. בפרט אפשר להסיק ש-$\ell ^{p}$ מרחב בנך בלי להוכיח זאת בנפרד. נובע גם ש-$\ell ^{2}$ הוא מרחב הילברט, ומפורשות ניתן לאמר ש-$\ell ^{2}\cong L^{2}(\mathbb {N} ,P(\mathbb {N} ),\#)$.

תכונות מרחבי L^p

התכנסות בנורמה

היות שהמרחב $L^{p}$ הוא מרחב נורמי, מתאימה עבורו התכנסות בנורמה - נאמר שסדרת פונקציות $\{f_{n}\}$ מתכנסת בנורמה-p לפונקציה $f$ אם $||f_{n}-f||_{p}\to 0$ כאשר $n\to \infty$. המשפט הבסיסי והחשוב בנושא הוא:

משפט: תהי $\{f_{n}\}\subseteq L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )$ כך ש- $f_{n}\to f$ נקודתית כמעט בכל מקום, וכן נניח שיש $g\in L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )$ כך ש-$|f_{n}|\leq g$ (כלומר $f_{n}$ נשלטת על ידי $g$), אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p, כלומר $\lim _{n\rightarrow \infty }{||f_{n}-f||_{p}}=0$.

בכיוון ההפוך יש טענה מעט חלשה יותר-

משפט - תהי $f\in L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )$ ונניח שיש סדרה $\{f_{n}\}$ כך ש-$\lim _{n\rightarrow \infty }{||f_{n}-f||_{p}}=0$. אזי ל-$\{f_{n}\}$ יש תת-סדרה המתכנסת נקודתית ל-$f$ כמעט בכל מקום.

במקרה של התכנסות במידה שווה, הטיעון 'חלק' יותר:

משפט: במרחב ממידה סופית, אם $f_{n}\to f$ במידה שווה, אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p.

תכונה טופולוגית נוספת של המרחב, היא שאוסף הפונקציות הפשוטות היא קבוצה צפופה ב-$L^{p}$. ניתן לראות זאת בקלות לפי המשפטים לעיל - ידוע שלכל פונקציה אינטגרבילית יש סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות $\phi _{n}$ שמתכנסת אליה, ומפני שמתקיים $|f-\phi _{n}|^{p}\leq 2^{p-1}|(f|^{p}+|\phi _{n}|^{p})\to 2^{p}|f|^{p}$, נקבל שיש התכנסות גם בנורמת-p. למעשה, המרחב $L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )$ הוא ההשלמה של מרחב הפונקציות הפשוטות שיושב בו.

שיכונים

במרחבים ממידה סופית, יש שיכונים בין מרחבי $L^{p}$, ביחס הפוך לסדר.

משפט - יהי $(X,M,\mu )$ מרחב מידה סופי, כלומר $\mu (X)<\infty$. אזי:

• אם $1<p<q$ יש שיכון טבעי - $L_{\mathbb {K} }^{q}(X,S,\mu )\hookrightarrow L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )$. יותר מכך, השיכון רציף, משום שזהו אופרטור ליניארי חסום. מפורשות, אי-שוויון ינסן (באחת מגרסאותיו) טוען כי $||f||_{p}\leq \mu (X)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}\cdot ||f||_{q}$.
• לכל $p>1$ מתקיים $L_{\mathbb {K} }^{\infty }(X,S,\mu )\subseteq L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )$.

לקריאה נוספת

• The Lp Spaces