מרחבי lp n מממד סופי עריכה
הנורמה האוקלידית על המרחב האוקלידי
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
היא זו המושרית מן המכפלה הפנימית הסטנדרטית: האורך של וקטור
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}
נתון על ידי
‖
x
‖
2
=
(
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
)
1
/
2
{\displaystyle \|x\|_{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)^{1/2}}
.
אך זוהי בהחלט לא הדרך היחידה להגדיר 'אורך' ב-
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
. אם
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
הוא מספר ממשי , נגדיר את נורמת
ℓ
p
{\displaystyle {\ell }^{p}}
של וקטור
x
{\displaystyle x}
להיות
‖
x
‖
p
=
(
|
x
1
|
p
+
|
x
2
|
p
+
⋯
+
|
x
n
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}
(ולכן נורמת
ℓ
n
2
{\displaystyle {\ell }_{n}^{2}}
היא הנורמה האוקלידית המוכרת, בעוד שהמרחק בנורמת
ℓ
n
1
{\displaystyle {\ell }_{n}^{1}}
ידוע בתור מטריקת מנהטן ).
ניתן גם להגדיר נורמה ל-
p
=
∞
{\displaystyle p=\infty }
על ידי
‖
x
‖
∞
=
max
{
|
x
1
|
,
|
x
2
|
,
…
,
|
x
n
|
}
{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\right\}}
למעשה מתקיים
‖
x
‖
∞
=
lim
p
→
∞
‖
x
‖
p
{\displaystyle \left\Vert x\right\Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left\Vert x\right\Vert _{p}}
ולכן מקובל סימון זה. נורמה זו ידועה בשמות נורמת הסופרמום , נורמת המקסימום או נורמת התכנסות במידה שווה.
לכל
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
ההגדרות לעיל מקיימות את התכונות של נורמה . מפורשות:
חיוביות -
|
|
x
|
|
p
≥
0
{\displaystyle ||x||_{p}\geq 0}
ו-
|
|
x
|
|
p
=
0
{\displaystyle ||x||_{p}=0}
אם ורק אם
x
=
0
{\displaystyle x=0}
,
הומוגניות חיובית -
|
|
c
⋅
x
|
|
p
=
|
c
|
⋅
|
|
x
|
|
p
{\displaystyle ||c\cdot x||_{p}=|c|\cdot ||x||_{p}}
, ו-
אי-שוויון המשולש (ובמקרה פרטי זה קרוי גם אי-שוויון מינקובסקי ) -
|
|
x
+
y
|
|
p
≤
|
|
x
|
|
p
+
|
|
y
|
|
p
{\displaystyle ||x+y||_{p}\leq ||x||_{p}+||y||_{p}}
.יתרה מזאת, לכל
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
,
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
יחד עם נורמת
ℓ
p
{\displaystyle {\ell }^{p}}
(או פשוט נורמת-p) מהווה מרחב בנך , כלומר הנורמה שלמה . מרחב זה מסומן לעיתים על ידי
ℓ
n
p
{\displaystyle \ell _{n}^{p}}
.
לעיתים מגדירים את
ℓ
n
p
{\displaystyle \ell _{n}^{p}}
להיות המרחב הווקטורי
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
מעל שדה המספרים המרוכבים . ההגדרות הן כלעיל (הפעם הערך המוחלט הוא מרוכב ), והתכונות הן אותן תכונות (בפרט, מתקבל מרחב בנך).
p בין 0 ל-1 עריכה
ב-
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
כאשר
n
>
1
{\displaystyle n>1}
, הנוסחה
‖
x
‖
p
=
(
|
x
1
|
p
+
|
x
2
|
p
+
⋯
+
|
x
n
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}
מגדירה מספר ממשי אי-שלילי אם
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
, אבל ההעתקה המתקבלת
x
↦
‖
x
‖
p
{\displaystyle x\mapsto \left\Vert x\right\Vert _{p}}
איננה נורמה, מכיוון שהיא לא מקיימת את אי-שוויון המשולש. למרות זאת, הפונקציה
d
p
(
x
,
y
)
=
‖
x
−
y
‖
p
p
=
∑
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
p
{\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert _{p}^{p}=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}}
היא מטריקה . בדומה למקרה
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
, נהוג לסמן את המרחב המטרי
(
R
n
,
d
p
)
{\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},d_{p}\right)}
ב-
ℓ
n
p
{\displaystyle \ell _{n}^{p}}
וגם אותו ניתן להגדיר בדומה מעל המרוכבים.
אף על פי שכדור היחידה במטריקה
d
p
{\displaystyle d_{p}}
, המסומן
B
n
p
{\displaystyle B_{n}^{p}}
, הוא "קעור" (קרי, לא קמור ), הטופולוגיה המושרית על
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
על ידה היא הטופולוגיה הסטנדרטית על
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ולכן
ℓ
n
p
{\displaystyle \ell _{n}^{p}}
הוא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית . מעבר לטענה איכותית זו, דרך כמותית למדוד את חוסר הקמירות של
ℓ
n
p
{\displaystyle \ell _{n}^{p}}
היא להתבונן ב-
C
p
(
n
)
{\displaystyle C_{p}\left(n\right)}
, הקבוע הקטן ביותר
C
{\displaystyle C}
שעבורו הניפוח
C
⋅
B
n
p
{\displaystyle C\cdot B_{n}^{p}}
של כדור היחידה בנורמת-p מכיל את הקמור של
B
n
p
{\displaystyle B_{n}^{p}}
(שהוא למעשה
B
n
1
{\displaystyle B_{n}^{1}}
לכל
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
). מסתבר שמתקיים
C
p
(
n
)
=
n
−
1
+
1
/
p
{\displaystyle C_{p}\left(n\right)=n^{-1+1/p}}
לכל
n
{\displaystyle n}
טבעי. העובדה שערך זה שואף לאינסוף כאשר
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
(עבור
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
קבוע) משקפת את העובדה שמרחב הסדרות האינסוף-ממדי
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
(המוגדר למטה) הוא כבר לא קמור מקומית.
במתמטיקה בדידה , נורמת-p מוגדרת גם עבור
p
=
0
{\displaystyle p=0}
לפי
‖
x
‖
0
=
lim
p
↘
0
(
|
x
1
|
p
+
|
x
2
|
p
+
⋯
+
|
x
n
|
p
)
{\displaystyle \left\Vert x\right\Vert _{0}=\lim _{p\searrow 0}\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots +\left|x_{n}\right|^{p}\right)}
שהוא פשוט מספר הרכיבים השונים מאפס בוקטור
x
{\displaystyle x}
. אם נגדיר
0
0
=
0
{\displaystyle 0^{0}=0}
, אז נורמת האפס של
x
{\displaystyle x}
שווה ל-
|
x
1
|
0
+
⋯
+
|
x
n
|
0
{\displaystyle \left|x_{1}\right|^{0}+\cdots +\left|x_{n}\right|^{0}}
. זוהי אינה נורמה במובן הרגיל של המילה, אך היא יכולה לשמש למדידת דלילות, למשל בתחום של Compressed sensing .
מרחבי Lp מממד בן מניה עריכה
מרחבי Lp ממד כללי עריכה
ניתן לשים לב שבמקרים הקודמים התחלנו מקבוצות סופיות, עברנו לבנות מנייה, וכעת נרצה לעבור לעוצמה כללית - מסדרות סופיות, לסדרות בנות מנייה, נעבור לפונקציות , ובמקום סכימה נבצע אינטגרציה .
פורמלית, עבור
1
≤
p
<
∞
{\displaystyle 1\leq p<\infty }
מגדירים את
L
p
(
K
,
X
,
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {K} ,X,S,\mu )}
עבור מרחב מידה
(
X
,
S
,
μ
)
{\displaystyle (X,S,\mu )}
ושדה
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
להיות-
L
p
(
K
,
X
,
S
,
μ
)
=
{
f
:
X
→
K
:
∫
X
|
f
|
p
d
μ
<
∞
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {K} ,X,S,\mu )=\{f:X\to \mathbb {K} :\int _{X}{|f|^{p}d\mu }<\infty \}}
כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג . מגדירים את נורמת-p להיות
|
|
f
|
|
p
=
∫
X
|
f
|
p
d
μ
p
{\displaystyle ||f||_{p}={\sqrt[{p}]{\int _{X}{|f|^{p}}d\mu }}}
. מיפוי זה איננו נורמה, מפני שפונקציות ששוות כמעט בכל מקום לאפס, עדיין יחזירו אינטגרל אפס. כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את המרחב
L
K
p
(
X
,
S
,
μ
)
{\displaystyle L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )}
שאיבריו הוא אוסף מחלקות השקילות עד כדי שוויון כמעט בכל מקום. כעת,
|
|
⋅
|
|
p
{\displaystyle ||\cdot ||_{p}}
היא אכן נורמה - היא חיובית והומוגנית חיובית, ומקיימת את אי שוויון המשולש - זהו אי-שוויון מינקובסקי . המרחבים גם שלמים - ניתן להוכיח זאת בשימוש משפטי התכנסות מתורת המידה (למשל, משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג).
מרחבי
L
p
{\displaystyle L^{p}}
הם הדוגמה הקלאסית למרחב בנך באנליזה ובטופולוגיה .
המקרה
p
=
2
{\displaystyle p=2}
הוא מקרה מיוחד, מפני שבמקרה זה המרחב
L
2
{\displaystyle L^{2}}
הוא אף מרחב הילברט - מרחב מכפלה פנימית שלם מעל השדה, כאשר המכפלה הפנימית היא
<
f
,
g
>=
∫
X
f
⋅
g
¯
d
μ
{\displaystyle <f,g>=\int _{X}{f\cdot {\overline {g}}d\mu }}
. זוהי דוגמה קלאסית למרחב הילברט, ולמעשה ידוע יותר מכך - כל מרחב הילברט איזומורפי למרחב
L
2
(
A
,
P
(
A
)
,
#
)
{\displaystyle L^{2}(A,P(A),\#)}
, כאשר
A
{\displaystyle A}
קבוצה כלשהי.
במקרה
p
=
∞
{\displaystyle p=\infty }
אי אפשר להגדיר, כמו במקרה הסופי, את
L
∞
{\displaystyle L^{\infty }}
להיות אוסף הפונקציות החסומות, משום שפונקציה יכולה לקבל את הערך אינסוף על קבוצה ממידה אפס. כדי להתגבר על הבעיה, מגדירים essential supremum של פונקציה:
esssup
f
=
inf
{
a
∈
R
:
μ
(
f
−
1
(
a
,
∞
)
)
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {esssup} f=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}}
והמרחב
L
∞
{\displaystyle L^{\infty }}
הוא אוסף הפונקציות עבורן
esssup
|
f
|
<
∞
{\displaystyle \operatorname {esssup} |f|<\infty }
, הנקראות גם פונקציות חסומות בעיקר (essentially bounded functions). המרחב שמתקבל אף הוא מרחב בנך , ומתקיים
|
|
f
|
|
∞
=
lim
p
→
∞
|
|
f
|
|
p
{\displaystyle ||f||_{\infty }=\lim _{p\rightarrow \infty }{||f||_{p}}}
. מרחב זה חשוב במיוחד בתורת המרחבים המטריים והשלמות, ראו מרחב מטרי שלם .
ביחס למקרים הקודמים עריכה
המקרה הסוף-ממדי
ℓ
n
p
{\displaystyle \ell _{n}^{p}}
מתקבל כמקרה פרטי של
L
p
{\displaystyle L^{p}}
, עבור
X
=
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle X=\{1,...,n\}}
ו-
μ
=
#
{\displaystyle \mu =\#}
מידת הספירה (הסופרת כמה איברים יש בקבוצה).
המקרה הבן-מנייה מתקבל עבור
X
=
N
{\displaystyle X=\mathbb {N} }
ומידת הספירה. בפרט אפשר להסיק ש-
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
מרחב בנך בלי להוכיח זאת בנפרד. נובע גם ש-
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
הוא מרחב הילברט , ומפורשות ניתן לאמר ש-
ℓ
2
≅
L
2
(
N
,
P
(
N
)
,
#
)
{\displaystyle \ell ^{2}\cong L^{2}(\mathbb {N} ,P(\mathbb {N} ),\#)}
.
תכונות מרחבי Lp עריכה
התכנסות בנורמה עריכה
היות שהמרחב
L
p
{\displaystyle L^{p}}
הוא מרחב נורמי , מתאימה עבורו התכנסות בנורמה - נאמר שסדרת פונקציות
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
מתכנסת בנורמה-p לפונקציה
f
{\displaystyle f}
אם
|
|
f
n
−
f
|
|
p
→
0
{\displaystyle ||f_{n}-f||_{p}\to 0}
כאשר
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
. המשפט הבסיסי והחשוב בנושא הוא:
משפט : תהי
{
f
n
}
⊆
L
K
p
(
X
,
S
,
μ
)
{\displaystyle \{f_{n}\}\subseteq L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )}
כך ש-
f
n
→
f
{\displaystyle f_{n}\to f}
נקודתית כמעט בכל מקום , וכן נניח שיש
g
∈
L
K
p
(
X
,
S
,
μ
)
{\displaystyle g\in L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )}
כך ש-
|
f
n
|
≤
g
{\displaystyle |f_{n}|\leq g}
(כלומר
f
n
{\displaystyle f_{n}}
נשלטת על ידי
g
{\displaystyle g}
), אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p, כלומר
lim
n
→
∞
|
|
f
n
−
f
|
|
p
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{||f_{n}-f||_{p}}=0}
.
בכיוון ההפוך יש טענה מעט חלשה יותר-
משפט - תהי
f
∈
L
K
p
(
X
,
S
,
μ
)
{\displaystyle f\in L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )}
ונניח שיש סדרה
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
כך ש-
lim
n
→
∞
|
|
f
n
−
f
|
|
p
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{||f_{n}-f||_{p}}=0}
. אזי ל-
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
יש תת-סדרה המתכנסת נקודתית ל-
f
{\displaystyle f}
כמעט בכל מקום.
במקרה של התכנסות במידה שווה , הטיעון 'חלק' יותר:
משפט : במרחב ממידה סופית, אם
f
n
→
f
{\displaystyle f_{n}\to f}
במידה שווה, אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p.
תכונה טופולוגית נוספת של המרחב, היא שאוסף הפונקציות הפשוטות היא קבוצה צפופה ב-
L
p
{\displaystyle L^{p}}
. ניתן לראות זאת בקלות לפי המשפטים לעיל - ידוע שלכל פונקציה אינטגרבילית יש סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
שמתכנסת אליה, ומפני שמתקיים
|
f
−
ϕ
n
|
p
≤
2
p
−
1
|
(
f
|
p
+
|
ϕ
n
|
p
)
→
2
p
|
f
|
p
{\displaystyle |f-\phi _{n}|^{p}\leq 2^{p-1}|(f|^{p}+|\phi _{n}|^{p})\to 2^{p}|f|^{p}}
, נקבל שיש התכנסות גם בנורמת-p. למעשה, המרחב
L
K
p
(
X
,
S
,
μ
)
{\displaystyle L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )}
הוא ההשלמה של מרחב הפונקציות הפשוטות שיושב בו.
במרחבים ממידה סופית, יש שיכונים בין מרחבי
L
p
{\displaystyle L^{p}}
, ביחס הפוך לסדר.
משפט - יהי
(
X
,
M
,
μ
)
{\displaystyle (X,M,\mu )}
מרחב מידה סופי, כלומר
μ
(
X
)
<
∞
{\displaystyle \mu (X)<\infty }
. אזי:
אם
1
<
p
<
q
{\displaystyle 1<p<q}
יש שיכון טבעי -
L
K
q
(
X
,
S
,
μ
)
↪
L
K
p
(
X
,
S
,
μ
)
{\displaystyle L_{\mathbb {K} }^{q}(X,S,\mu )\hookrightarrow L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )}
. יותר מכך, השיכון רציף, משום שזהו אופרטור ליניארי חסום . מפורשות, אי-שוויון ינסן (באחת מגרסאותיו) טוען כי
|
|
f
|
|
p
≤
μ
(
X
)
1
p
−
1
q
⋅
|
|
f
|
|
q
{\displaystyle ||f||_{p}\leq \mu (X)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}\cdot ||f||_{q}}
.
לכל
p
>
1
{\displaystyle p>1}
מתקיים
L
K
∞
(
X
,
S
,
μ
)
⊆
L
K
p
(
X
,
S
,
μ
)
{\displaystyle L_{\mathbb {K} }^{\infty }(X,S,\mu )\subseteq L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )}
.
לקריאה נוספת עריכה