אי-שוויון מרקוב

בתורת ההסתברות אי-שוויון מרקוב חוסם את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי אי שלילי יהיה גדול מקבוע נתון. אי שוויון מרקוב (בדומה לאי-שוויון צ'בישב ואי-שוויון קולמוגורוב) הוא אחד מאי-השוויונים הבסיסיים המשתמשים במושג התוחלת בשביל לאמוד (אם כי לעיתים רבות באופן גס) את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי. לדוגמה, מאי-השוויון נובע שלא ייתכן כי רף הכניסה לעשירון העליון של ההכנסות יהיה פי 12 מהמשכורת הממוצעת. למרות פשטותו, אי-השוויון מאפשר להוכיח תוצאות לא טריוויאליות, כגון החוק החלש של המספרים הגדולים.

אי-שוויון מרקוב מספק חסם עליון להסתברות ש-X נמצא בתחום המסומן באדום

אי-שוויון מרקוב קרוי על שם המתמטיקאי הרוסי אנדרי מרקוב, אם כי קיים תיעוד שלו בעבודותיו המוקדמות של פפנוטי צ'בישב שהיה מורו של מרקוב. אי-שוויון מרקוב מכונה גם אי שוויון צ'בישב ואי שוויון ביניימה בספרות מקצועית רבה (בפרט באנליזה), אך אין לבלבל בינו לבין אי-שוויון צ'בישב המפורסם.

נוסח פורמליעריכה

במושגים של תורת המידה, אי-שוויון מרקוב גורס כי בהינתן מרחב מידה   ופונקציה מדידה   אל הישר הממשי המורחב, אז לכל   מתקיים:

 

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

 

במקרה הפרטי של מרחב הסתברות (כלומר, המרחב בעל מידה 1), אי-השוויון שקול לטענה שעבור כל   מתקיים

 

הוכחהעריכה

מספיק להוכיח עבור פונקציה מדידה חיובית. f פונקציה מדידה, לכן הקבוצה   מדידה. מתקיים:

 
נוציא אינטגרל לבג על הקבוצה X משני צידי אי השוויון:
 
לפי הגדרת אינטגרל לבג על פונקציה מציינת של קבוצה מדידה, מתקיים:
 
נחלק ב-t ונקבל:
 
כנדרש.

הוכחה למשתנים מקרייםעריכה

יהי   משתנה מקרי חיובי רציף (ההוכחה למקרה הבדיד דומה). אזי: