אלגברת לי פשוטה למחצה

באלגברה מופשטת, אלגברת לי פשוטה למחצה היא אלגברת לי בעלת רדיקל טריוויאלי. אלגברות לי פשוטות למחצה הן מהאובייקטים החשובים ביותר בתחום, ויש להן מיון מלא. תנאי שקול לפשוטה למחצה נתון על ידי תבנית קילינג.

הגדרה פורמלית

תהי $L$ אלגברת לי מעל שדה $F$. הרדיקל של $L$ הוא האידיאל הפתיר המקסימלי המוכל ב-$L$. אידיאל כזה קיים ויחיד, מפני שסכום של שני אידיאלים פתירים הוא שוב פתיר. את הרדיקל מסמנים $\operatorname {Rad} (L)$.

$L$ נקראת פשוטה למחצה אם הרדיקל שלה טריוויאלי: $\operatorname {Rad} (L)=0$.

הגדרות שקולות

התנאים הבאים להיותה של $L$ פשוטה למחצה שקולים:

• תבנית קילינג שלה רגולית.

• כל אידיאל אבלי שלה טריוויאלי.

• כל אידיאל פתיר שלה טריוויאלי.

כסכום של אלגברות לי פשוטות

לעיתים מגדירים אלגברת לי פשוטה למחצה כסכום ישר של אלגברות לי פשוטות. ההגדרות שקולות:

משפט: כל אלגברת לי פשוטה למחצה היא סכום ישר של אידיאלים פשוטים שלה. צורה זו הוא יחידה עד כדי שינוי סדר המחוברים.

כמסקנה ממשפט זה, נובע כי כל אלגברת לי פשוטה למחצה $L$ מקיימת $[L,L]=L$, וכל אידיאל או תמונה אפימורפית שלה פשוטה למחצה. גם נובע כי כל אידיאל של $L$ הוא סכום של אידיאלים פשוטים של $L$.

תכונה חשובה נוספת היא שהנגזרות של אלגברת לי פשוטה למחצה מתלכדות עם העתקות הצמוד שלה, כלומר כל נגזרת היא מהצורה $\operatorname {ad} x$.

ראו גם

• אידיאל (אלגברת לי)
• אלגברת לי פתירה
• אלגברת לי נילפוטנטית
• תבנית קילינג

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, p. 11,15,22-23

קישורים חיצוניים

• אלגברת לי פשוטה למחצה, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.