תבנית קילינג היא סימטרית.
תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-
k
(
[
x
,
y
]
,
z
)
=
k
(
x
,
[
y
,
z
]
)
{\displaystyle k([x,y],z)=k(x,[y,z])}
הרדיקל
Rad
(
k
)
=
{
x
∈
L
∣
k
(
x
,
L
)
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Rad} (k)=\left\{x\in L\mid k(x,L)=0\right\}}
אידיאל .
התבנית נשמרת על ידי אוטומורפיזמים של
L
{\displaystyle L}
k
(
g
(
x
)
,
g
(
y
)
)
=
k
(
x
,
y
)
{\displaystyle k(g(x),g(y))=k(x,y)}
g
{\displaystyle g}
L
{\displaystyle L}
עריכה
בעזרת תבנית קילינג אפשר לנסח תנאי הכרחי ומספיק להיותה של אלגברת לי פשוטה למחצה :
משפט: תהי אלגברת לי
L
{\displaystyle L}
שדה סגור אלגברית ובעל מאפיין אפס. אז
L
{\displaystyle L}
אם ורק אם תבנית קילינג שלה רגולרית , כלומר: הרדיקל שלה אפס
Rad
(
k
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Rad} (k)=0}
הוכחה: נניח ש-
L
{\displaystyle L}
Rad
(
k
)
{\displaystyle \operatorname {Rad} (k)}
x
∈
Rad
(
k
)
,
y
∈
L
{\displaystyle x\in \operatorname {Rad} (k),y\in L}
Tr
(
ad
x
⋅
ad
y
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Tr} (\operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y)=0}
y
∈
[
Rad
(
k
)
,
Rad
(
k
)
]
⊆
L
{\displaystyle y\in [\operatorname {Rad} (k),\operatorname {Rad} (k)]\subseteq L}
קריטריון קרטן
Rad
(
k
)
{\displaystyle \operatorname {Rad} (k)}
בכיוון ההפוך , נניח ש-
k
{\displaystyle k}
Rad
(
k
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Rad} (k)=0}
תנאי מספיק (ובעצם שקול) להיותה של
L
{\displaystyle L}
אידיאל אבלי (אידיאל
I
{\displaystyle I}
[
I
,
I
]
=
0
{\displaystyle [I,I]=0}
סדרת הנגזרת שלו שיהיה אבלי ולא אפס).
אם כן יהי
I
{\displaystyle I}
x
∈
I
,
y
∈
L
{\displaystyle x\in I,y\in L}
ad
x
⋅
ad
y
:
L
→
I
{\displaystyle \operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y:L\rightarrow I}
(
ad
x
⋅
ad
y
)
2
:
L
→
[
I
,
I
]
=
0
{\displaystyle {(\operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y)}^{2}:L\rightarrow [I,I]=0}
ad
x
⋅
ad
y
{\displaystyle \operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y}
איבר נילפוטנטי , ולכן
k
(
x
,
y
)
=
T
r
(
ad
x
⋅
ad
y
)
=
0
{\displaystyle k(x,y)=Tr(\operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y)=0}
I
⊆
Rad
(
k
)
=
0
{\displaystyle I\subseteq \operatorname {Rad} (k)=0}
כאמור תבנית קילינג מהווה קריטריון להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה . בעזרתה אפשר להוכיח כי האלגברה
s
l
(
2
,
F
)
=
{
(
a
b
c
−
a
)
:
a
,
b
,
c
∈
F
}
{\displaystyle sl(2,F)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}:a,b,c\in F\right\}}
אכן, לפי הבסיס הסטנדרטי
{
x
=
(
0
1
0
0
)
,
y
=
(
0
0
1
0
)
,
h
=
(
1
0
0
−
1
)
}
{\displaystyle \left\{x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right\}}
(
0
0
4
0
8
0
4
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&4\\0&8&0\\4&0&0\end{pmatrix}}}
מטריצה הפיכה (במאפיין שאיננו 2).
זוהי למעשה דוגמה לאלגברת לי פשוטה למחצה מממד 3, הנמוך ביותר האפשרי (כל אלגברת לי ממד 1 או 2 אינה פשוטה למחצה).
![{\displaystyle k([x,y],z)=k(x,[y,z])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be17349ead3c2fdec26bd69351a0b71cf94a41a)
![{\displaystyle y\in [\operatorname {Rad} (k),\operatorname {Rad} (k)]\subseteq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f2858cd09197b686458e5814f56abeca9ed85d)
![{\displaystyle [I,I]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8463d669116e734d94b6d99008f663a8ee0cfd1)
![{\displaystyle {(\operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y)}^{2}:L\rightarrow [I,I]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c9a18c6e1c2f95a941f34ae4ca56edee9655bcd)
