גרמיאן

יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.

באלגברה ליניארית, מטריצת הגרמיאן (או מטריצת גראם) של סדרת וקטורים במרחב מכפלה פנימית היא המטריצה ההרמיטית שאיבריה הם כל המכפלות הפנימיות של שני וקטורים מתוך הסדרה, כלומר המטריצה אשר איבריה נתונים בנוסחה . הדטרמיננטה של מטריצת הגרמיאן שווה לריבוע הדטרמיננטה של המטריצה המקורית ממנה נבנתה, על כן יישום חשוב אחד שלה הוא בקביעה האם סדרת וקטורים תלויה ליניארית: אוסף של וקטורים הוא בלתי תלוי ליניארית אם ורק אם דטרמיננטת הגרמיאן שונה מאפס.

נקראת על שם יורגן פדרסן גרם.

הגדרה ויישומיםעריכה

במרחב וקטורי ממשי בעל מספר ממדים סופי עם המכפלה הסקלרית האוקלידית הסטנדרטית, הגרמיאן היא פשוט   (או   בעבור מרחבים וקטוריים מעל המרוכבים), כאשר   היא המטריצה שעמודותיה הן הווקטורים  .

יישומיםעריכה

  • בגאומטריה רימנית, בהינתן יריעה משוכנת  -ממדית   ומערך קואורדינטות   בעבור  , תבנית הנפח   המושרית על   על ידי השיכון ניתנת לחישוב באמצעות הגרמיאן של סדרת וקטורים המהווים בסיס למרחב המשיק ל- :
 

נוסחה זאת מכלילה את הנוסחה הקלאסית לאינטגרל המשטחי של משטח פרמטרי   בעבור  :

 

שטח המשטח מתקבל מאינטגרל על פונקציה שערכה על המשטח קבוע על 1.

דטרמיננטת גרםעריכה

הדטרמיננטה של מטריצת הגרמיאן היא:

 

גאומטרית, דטרמיננטת הגרמיאן היא ריבוע הנפח של המקבילון היסודי הנוצר על ידי וקטורי העמודות של המטריצה. תוצאה זאת נובעת מתכונת הכפליות של הדטרמיננטה (הווה אומר,  ) ומכך שלפי הגדרת הגרמיאן   (שכן הדטרמיננטה של מטריצה שווה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה).

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה