פתיחת התפריט הראשי

באלגברה ליניארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i, j) שלה נמצא האיבר ה-(j, i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

השחלוף AT של מטריצה A יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.

תוכן עניינים

הגדרה פורמליתעריכה

תהא   מטריצה מסדר  . המטריצה המשוחלפת שלה,   (מקובלים גם הסימונים  ) היא מטריצה מסדר   שמוגדרת כך:  , עבור כל  .

דוגמאות:

 

 

תכונותעריכה

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

  •  .
  •  .
  •  
  •  

מן התכונות האלה נובע גם שאם   הפיכה אז גם   הפיכה ו- .

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של   שווה לזה של  , ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוףעריכה

מטריצה ריבועית   נקראת סימטרית אם  , כלומר   שווה למטריצה המשוחלפת שלה.   נקראת אנטי-סימטרית אם  .

אם   היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים  , אז   נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית   היא אורתוגונלית אם ורק אם  , כאשר   היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה   מסומן   וכאמור מוגדר לפי  . אם   מקיימת  , היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה ליניאריתעריכה

  ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה ליניארית

אם   ו-  הם מרחבים וקטוריים מעל שדה   ו-  היא העתקה ליניארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה   בין המרחבים הדואליים של   ו-  המוגדרת באופן הבא:

  לכל   ולכל  .

זוהי העתקה ליניארית ודרגתה שווה לדרגת  . הפונקציונל   מכונה לעיתים המשיכה לאחור של   במקביל ל- .

אם   ו-  הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים,   הוא בסיס סדור ל-  עם בסיס דואלי  ,   הוא בסיס סדור ל-  עם בסיס דואלי   ו-  היא המטריצה המייצגת של   ביחס לבסיסים  , אז המטריצה המייצגת של   ביחס לבסיסים   היא בדיוק  .


קישורים חיצונייםעריכה