התפלגות ברנולי

בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך $X=1$ או ערך $X=0$ בהסתברות $\Pr(X=1)=p$ ו-$\Pr(X=0)=1-p$. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב-$q$ (כלומר: $q=1-p$).

התפלגות ברנולי

מאפיינים
פרמטרים	$0\leq p\leq 1$ – ההסתברות ל"הצלחה" $q=1-p$
תומך	$k\in \{0,1\}$
פונקציית הסתברות (pmf)	${\begin{cases}q=1-p,&k=0\\p,&k=1\end{cases}}$$p^{k}q^{1-k}\!$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\begin{cases}0,&k<0\\1-p,&0\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{cases}}$
תוחלת	$p$
סטיית תקן	${\sqrt {p\cdot (1-p)}}={\sqrt {p\cdot q}}$
חציון	${\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}$
ערך שכיח	${\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\0,1&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}$
שונות	$p\cdot (1-p)=pq$
אנטרופיה	$-q\ln q-p\ln p$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$q+pe^{t}$
פונקציה אופיינית	$q+pe^{it}$
צידוד	${\frac {q-p}{\sqrt {p\cdot q}}}$
גבנוניות	${\frac {1-6p\cdot q}{p\cdot q}}$

למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על $6$ היא${\frac {1}{6}}$, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא ${\frac {5}{6}}$. אם תסומן התוצאה $6$ כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר $p={\frac {1}{6}}$.

את העובדה שלמשתנה מקרי $X$ יש התפלגות ברנולי מסמנים $X\sim \ {\text{b}}(p)$ (לעיתים $X\sim \ {\text{Bernoulli}}(p)$). והשונות שלו היא $\operatorname {Var} (X)=p\cdot (1-p)$. משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה $X^{n}=X$ לכל $n$ (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־$p$.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של $n$ משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, $B(n,p)$ (ובפרט, ההתפלגות $B(1,p)$ היא התפלגות ברנולי).

תכונות

אם $X$ הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

$\Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.$

פונקציית הסתברות $f$ של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

$f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}$

צורה שקולה לביטוי זה היא:

$f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}$

או:

$f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.$

בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור $n=1$.

גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של $p$. עבור ערכי $0\leq p\leq 1$ ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של $p$ עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.

תוחלת

התוחלת של משתנה מקרי $X$ המתפלג ברנולי היא:

$\mathbb {E} [X]=p$

זאת משום שעבור$X$ בו $\Pr(X=1)=p$ יחד עם $\Pr(X=0)=1-p$ מתקבל:

$\mathbb {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0:=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.$

שונות

השונות של משתנה מקרי $X$ המתפלג ברנולי היא:

$\operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)$

הוכחה

ראשית,

$\mathbb {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p$

ומכאן:

$\operatorname {Var} [X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq$

כמובטח.

קישורים חיצוניים

• התפלגות ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית)