התפלגות ברנולי

התפלגות ברנולי היא מונח מתחומי סטטיסטיקה ותורת ההסתברות, הקרוי על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, המתאר התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך או ערך בהסתברות ו- . מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים - הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- .

למשל, בהטלת קובייה תקינה תסומן התוצאה כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון. ההסתברות לנפילה על בקובייה תקינה היא, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא . בדוגמה זו המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר .

את העובדה שלמשתנה מקרי יש התפלגות ברנולי מסמנים (לעיתים ). והשונות שלו היא . משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה לכל (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ולכן כל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, (ובפרט ההתפלגות היא התפלגות ברנולי).

תכונותעריכה

אם   הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

 

פונקציית הסתברות   של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

 

צורה שקולה לביטוי זה היא:

 

או:

 

בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור  

גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של  . עבור ערכי   ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ומדד הנראות המרבית של   עבור דגימה אקראית הוא ממוצע הדגימה.

תוחלתעריכה

התוחלת של משתנה מקרי   המתפלג ברנולי היא:

 

זאת משום שעבור  בו   יחד עם   יוצא:

 

שונותעריכה

השונות של משתנה מקרי   המתפלג ברנולי היא:

 

ראשית נמצא את  :

 

ומכאן:

 

קישורים חיצונייםעריכה