בהסתברות ובסטטיסטיקה , התפלגות משולשת היא התפלגות רציפה עם גבול תחתון a , גבול עליון b ושכיח c , כך שמתקיים: a < b {\displaystyle a<b} ו-a ≤ c ≤ b {\displaystyle a\leq c\leq b} .
התפלגות משולשת
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים
a : a ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )} b : a < b {\displaystyle b:~a<b\,} c : a ≤ c ≤ b {\displaystyle c:~a\leq c\leq b\,}
תומך
a ≤ x ≤ b {\displaystyle a\leq x\leq b\!}
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)
{ 0 for x < a , 2 ( x − a ) ( b − a ) ( c − a ) for a ≤ x < c , 2 ( b − x ) ( b − a ) ( b − c ) for c ≤ x ≤ b , 0 for b < x . {\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c\leq x\leq b,\\[4pt]0&{\text{for }}b<x.\end{cases}}}
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)
{ 0 for x ≤ a , ( x − a ) 2 ( b − a ) ( c − a ) for a < x ≤ c , 1 − ( b − x ) 2 ( b − a ) ( b − c ) for c < x < b , 1 for b ≤ x . {\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{for }}b\leq x.\end{cases}}}
תוחלת
a + b + c 3 {\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}
חציון
{ a + ( b − a ) ( c − a ) 2 for c ≥ a + b 2 , b − ( b − a ) ( b − c ) 2 for c ≤ a + b 2 . {\displaystyle {\begin{cases}a+{\sqrt {\frac {(b-a)(c-a)}{2}}}&{\text{for }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\sqrt {\frac {(b-a)(b-c)}{2}}}&{\text{for }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}}
ערך שכיח
c {\displaystyle c\,}
שונות
a 2 + b 2 + c 2 − a b − a c − b c 18 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}
אנטרופיה
1 2 + ln ( b − a 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)
2 ( b − c ) e a t − ( b − a ) e c t + ( c − a ) e b t ( b − a ) ( c − a ) ( b − c ) t 2 {\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}
פונקציה אופיינית
− 2 ( b − c ) e i a t − ( b − a ) e i c t + ( c − a ) e i b t ( b − a ) ( c − a ) ( b − c ) t 2 {\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}
צידוד
2 ( a + b − 2 c ) ( 2 a − b − c ) ( a − 2 b + c ) 5 ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − a c − b c ) 3 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}
גבנוניות
− 3 5 {\displaystyle -{\frac {3}{5}}}
מאפיינים ושימושים
עריכה
ההתפלגות המשולשת מייצגת התפלגות בסיסית המבוססת רק על חסם עליון , חסם תחתון ושכיח . מהסיבות הללו, יש המכנים אותה "התפלגות של חוסר נתונים". לרוב משתמשים בהתפלגות משולשת כאשר אין מספיק נתונים וההתפלגות אינה אחידה . אולם בעיקר משתמשים בהתפלגות משולשת כאשר היחס בין המשתנים ידוע. בהתפלגות משולשת ניתן גם בקלות לחשב את ההסתברות של קבוצה בתחום, על ידי חישוב השטח שמתחת לעקומה הבנוי ממשולש . בשל מאפיינים אלו, משתמשים לרב בהתפלגות משולשת בסימולציות ובתהליכי קבלת החלטות . משתמשים גם בהתפלגות משולשת בשילוב התפלגות בטא בניהול פרויקטים .
מקרים מיוחדים
עריכה
קיימים מקרים מיוחדים בהם הנקודות הן ידועות ויש שימוש בערך מסוים של c .
שתי נקודות ידועות
עריכה
ההתפלגות נהיית יותר פשוטה כאשר a =c או b =c . לדוגמה אם a =0 ו-b =c =1 אז בקטע שבו 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} , פונקציית הצפיפות ופונקציית ההצטברות מוגדרות להיות:
f ( x ) = 2 x F ( x ) = x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2x\\[8pt]F(x)&=x^{2}\end{aligned}}} E ( X ) = 2 3 V a r ( X ) = 1 18 {\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {2}{3}}\\[8pt]\mathrm {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}}
בהינתן שני משתנים מקריים בלתי תלויים, X 1 , X 2 שלשניהם התפלגות אחידה רציפה על הקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , אז ההתפלגות של X = (X 1 + X 2 )/2 מתאימה למקרה שבו a = 0 {\displaystyle a=0} , b = 1 {\displaystyle b=1} ו-c = 0.5 {\displaystyle c=0.5} .
f ( x ) = { 4 x for 0 ≤ x < 1 2 4 − 4 x for 1 2 ≤ x ≤ 1 0 otherwise {\displaystyle f(x)={\begin{cases}4x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\4-4x&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} F ( x ) = { 0 for x < 0 2 x 2 for 0 ≤ x < 1 2 1 − 2 ( 1 − x ) 2 for 1 2 ≤ x < 1 1 for 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<0\\2x^{2}&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\1-2(1-x)^{2}&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\\1&{\text{for }}1\leq x\leq 1\\\end{cases}}} E ( X ) = 1 2 Var ( X ) = 1 24 {\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{2}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{24}}\end{aligned}}} התפלגות המרחק בין שני משתנים מקריים אחידים
עריכה
בהינתן שני משתנים מקריים בלתי תלויים, X 1 , X 2 שלשניהם התפלגות אחידה רציפה על הקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , אז ההתפלגות של X = | X 1 − X 2 | {\displaystyle X=\left|X_{1}-X_{2}\right|} מתאימה למקרה שבו a = 0, b = 1 ו-c = 0.
f ( x ) = 2 − 2 x , for 0 ≤ x < 1 F ( x ) = 2 x − x 2 , for 0 ≤ x < 1 E ( X ) = 1 3 Var ( X ) = 1 18 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2-2x,{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]F(x)&=2x-x^{2},{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]E(X)&={\frac {1}{3}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}} יצירת משתנים מקריים בעלי התפלגות משולשת
עריכה
כאשר נתון משתנה מקרי U שמתפלג באופן אחיד על הקטע ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} , אז (בעזרת דגימה מהעתקה הופכית ) המשתנה
{ X = a + U ( b − a ) ( c − a ) for 0 < U < F ( c ) X = b − ( 1 − U ) ( b − a ) ( b − c ) for F ( c ) ≤ U < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{cases}X=a+{\sqrt {U(b-a)(c-a)}}&{\text{ for }}0<U<F(c)\\&\\X=b-{\sqrt {(1-U)(b-a)(b-c)}}&{\text{ for }}F(c)\leq U<1\end{cases}}\end{matrix}}} כאשר F היא פונקציית ההתפלגות של התפלגות משולשת עם פרמטרים a, b ו-c, ומכאן שמתקיים F(c) = (c-a)/(b-a).
קישורים חיצוניים
עריכה