התפלגות רב-נורמלית

בתורת ההסתברות, התפלגות רב-נורמלית, או התפלגות גאוסיאנית רב-ממדית, (באנגלית: Multivariate normal distribution) היא הכללה של התפלגות נורמלית למשתנים מקריים רב-ממדיים. היא מוגדרת בתור וקטור משתנים מקריים, שכל צירוף ליניארי שלו מתפלג נורמלית. ישנה גם הגדרה (כללית יותר) בשפה של פונקציות אופייניות (הקובעת את המשתנה).

להתפלגות רב-נורמלית מספר שימושים, כגון הוכחת טענות על התפלגות הממוצע וסטיית התקן של משתנים מקריים שווי התפלגות נורמלית; טענות אלו שימושיות במיוחד בסטטיסטיקה. ניתן גם לנסח את משפט הגבול המרכזי בגרסה רב-ממדית בעזרת התפלגות רב-נורמלית.

הגדרהעריכה

יהי   וקטור משתנים מקריים ממשיים. נאמר ש-  מתפלג רב-נורמלית (או גאוסיאנית) אם לכל   המשתנה המקרי (החד ממדי)   מתפלג נורמלית, כלומר קיימים   (תלויים ב- ) כך ש- .

אם   משתנה רב-נורמלי, מסמנים   כאשר   הוא וקטור התוחלות, ו-  היא מטריצת השונויות המשותפות -  

תכונותעריכה

הפונקציה האופייניתעריכה

ניתן לאפיין את המשתנים המקריים הגאוסיאניים בעזרת הפונקציה האופיינית שלהם: וקטור משתנים מקריים הוא גאוסיאני אם ורק אם הוא בעל פונקציה אופיינית:

 

מטריצה השונויות   היא חיובית.

בפרט, נובע שהמשתנים המקריים בלתי מתואמים אם ורק אם הם בלתי תלויים (מה שלא נכון באופן כללי).

לכסוןעריכה

לכל משתנה מקרי רב-נורמלי   קיימים משתנה מקרי   ומטריצה אורתוגונלית   כך ש- , כאשר   ו-  הם הערכים עצמיים של   (מטריצת השונויות המשותפות).

בכיוון ההפוך, לכל משתנה מקרי רב-נורמלי   ולכל מטריצה אורתוגונלית  , המשתנה המקרי   גם הוא רב נורמלי:  .

כדי להוכיח משפט זה, יש להפעיל לכסון אורתוגונלי על   (בפרט, המטריצה   נבחרת להיות המטריצה המלכסנת).

פונקציית צפיפותעריכה

כאשר מטריצת השונויות   איננה מטריצה סינגולרית - כלומר כל ערכיה העצמיים   שונים מאפס, למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות, הנתונה על ידי הנוסחא:

 

כאשר   מסמן את הדטרמיננטה של  .

התפלגות רב-נורמלית סינגולריתעריכה

בדרך כלל מניחים כי מטריצת השונויות   איננה מטריצה סינגולרית. כאמור, במקרה זה למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות.

עם זאת, כאשר מורידים את ההנחה האחרונה (כלומר, יש ערכים עצמיים אפס), מתקבל משתנה מקרי רב-נורמלי סינגולרי. ההגדרה בעזרת הפונקציה האופיינית היא כללית יותר (כלומר, תקפה גם במקרה הסינגולרי). במקרה זה אין פונקציית צפיפות (ביחס למידת לבג) - ערכיה כל פונקציית צפיפות ייקבעו על ידי פחות מ-  משתנים, ואינטגרל של פונקציה כזו הוא אפס ולא 1, כנדרש מפונקציית צפיפות.

בכל זאת, ניתן להגדיר מידות אחרות (על תת-מרחב  -ממדי של  ) ואז מוגדרת פונקציית צפיפות עבור משתנה מקרי ביחס למידה החדשה.

יישומיםעריכה

בעזרת התפלגות רב-נורמלית, ניתן להוכיח תוצאות חשובות בסטטיסטיקה.

למשל, אם   משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים  , נסמן   ו- . אז מתקיים  , כלומר מתפלג סטודנט עם   דרגות חופש.