החבורה הסימטרית

במתמטיקה, החבורה הסימטרית של קבוצה $\ X$ היא החבורה שאבריה הם הפונקציות החד-חד ערכיות ועל מ-$\ X$ ל-$\ X$, עם פעולת הרכבת פונקציות. מקובל לסמן חבורה זו, שהיא הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורת סימטריות, בסימון $\ S_{X}$ או $\ \operatorname {Sym} (X)$.

כאשר הקבוצה $\ X$ סופית, ניתן להניח שאבריה הם $\ X=\{1,...,n\}$, ואז מסמנים את חבורת הסימטריות שלה ב-$\ S_{n}$, שבה יש $\ n!$ איברים הנקראים תמורות.

הגדרות וסימונים

מחזורים וחילופים

מחזור מסדר r הוא תמורה בה r איברים מחליפים ביניהם מקומות באופן מעגלי (נקרא גם אופן ציקלי). את המחזור מסמנים על ידי כתיבת אברי המחזור בתוך סוגריים עגולים, כאשר התמונה של כל אבר היא האיבר שרשום אחריו. לדוגמה, $\ f=(1\ 4\ 7\ 9)\in S_{9}$ הוא מחזור מסדר 4, שבו $\ f(1)=4,f(4)=7,f(7)=9,f(9)=1$ ולכל שאר המספרים מתקיים $\ f(x)=x$.

שני מחזורים נקראים זרים אם קבוצות האיברים שאותם הם לא משאירים במקום הן זרות. לדוגמה, המחזור $(1\ 2\ 9)$ זר למחזור $(4\ 8\ 5)$. מחזורים זרים מתחלפים. ניתן להציג באופן יחיד כל תמורה כהרכבה של מחזורים זרים באופן יחיד (עד כדי סדר). אורכי המחזורים בהצגה זו מהווים חלוקה, הנקראת מבנה המחזורים של התמורה.

מחזור באורך 2 נקרא חילוף.

רישום תמורות באמצעות מטריצה

דרך נוספת לרשום תמורות באמצעות מטריצה דו-שורתית עם n עמודות. השורה הראשונה מייצג את המצב ההתחלתי של הרצף (בדרך כלל כל איבר נמצא במקומו הטבעי [1 במקום הראשון, 2 בשני, וכו']) ואילו השורה השנייה מייצגת את המצב של האיברים אחרי הפעלת התמורה עליהם. למשל:

$f=(1\ 2\ 3)={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}}$

הוא הייצוג במטריצה של מחזור מסדר-3 על הקבוצה {1,2,3}, שבו $\ f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1$.

שיטת כתיבה זו מסורבלת למדי ולרוב משתמשים בייצוג בעזרת מחזורים זרים.

דוגמה לכפל (הרכבה) תמורות

יהיו $f=(1\ 3)(2)(4\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{bmatrix}}$

ו-$g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}$

משמעות הסימון $f\cdot g$ היא התמורה המתקבלת מהפעלת g ואחריה את f. $fg=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{bmatrix}}$. (כי g מעביר את 1 ל-2 ולאחר מכן f משאיר את 2 במקום, וכן הלאה). יש לשים לב שבאופן כללי כפל תמורות אינו חילופי, כלומר $f\cdot g\neq g\cdot f$.

סימן של תמורה

כאמור, חילוף היא תמורה שמחליפה שני איברים זה בזה ואת השאר היא משאירה במקום. ניתן להוכיח שכל תמורה יכולה להיכתב כמכפלה של חילופים. לדוגמה, קל לבדוק שכל מחזור מקיים את השוויון $(a\ b\ c\ d\dots y\ z)=(bc)(cd)\dots (yz)(za)$.

תמורה שניתן להציגה כמכפלה של מספר זוגי של חילופים נקראת תמורה זוגית, ואילו תמורה שהיא מכפלה של מספר אי-זוגי של חילופים נקראת תמורה אי-זוגית. למרות שההצגה של תמורה בתור מכפלת חילופים אינה יחידה, הזוגיות של מספר החילופים בכל שתי הצגות תמיד תהיה זהה, ולכן מושג הזוגיות של תמורה מוגדר היטב. בדוגמה של כפל התמורות, $g$ היא מכפלה של שלושה חילופים ולכן היא אי-זוגית בעוד $\ f$היא תמורה זוגית.

היות שמספר החילופים במכפלה של שתי תמורות הוא פשוט סכום מספרי החילופים בכל אחת מהתמורות, הזוגיות של מכפלת תמורות פועלת לפי אותם החוקים של חיבור מספרים שלמים. כלומר, מכפלה של תמורה זוגית עם תמורה אי-זוגית היא אי-זוגית, וכל צירוף אחר הוא זוגי.

אם מגדירים את פונקציית הסימן על ידי $\operatorname {sign} (f)=1$ אם f תמורה זוגית ו-$\operatorname {sign} (f)=-1$ אם f היא אי-זוגית, אז ההעתקה$\operatorname {sign} :S_{n}\rightarrow \{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ היא הומומורפיזם של חבורות. גרעין ההעתקה, כלומר קבוצת התמורות הזוגיות, נקרא חבורת התמורות הזוגיות ומקובל לסמן אותו באות $A_{n}$. זוהי תת חבורה נורמלית של $\ S_{n}$מאינדקס 2, ויש בה לכן בדיוק $\ n!/2$ איברים. עבור $n\geq 5$, זוהי תת-החבורה הנורמלית הלא-טריוויאלית היחידה של $S_{n}$.

הסימן של מחזור מאורך $k$ הוא $(-1)^{k-1}$.

תכונות של החבורות הסימטריות

לכל החבורות הסימטריות (מסדר $\ n>2$) יש מרכז טריוויאלי. האוטומורפיזמים של כל החבורות $\ S_{n}$ פרט לחבורה $\ S_{6}$ הם פנימיים (כלומר, מושרים על ידי הצמדה); לחבורה $\ S_{6}$ יש אוטומורפיזם חיצוני. לכן החבורות $\ S_{n}$ (כאשר $\ n\neq 2,6$) הן שלמות.

יוצרים

את החבורה הסימטרית אפשר ליצור בעזרת שני יוצרים: החילוף $(1\ 2)$ והמחזור $(2\ \cdots \ n)$. ההוכחה לכך מורכבת משלוש העובדות הבאות:

• כל תמורה ניתנת להצגה כמכפלה של חילופים.
• כל חילוף $(i\ j)$ ניתן להצגה כהרכבה של חילופים מהצורה $(1\ k)$ באופן הבא: $(i\ j)=(1\ j)(1\ i)(1\ j)$.
• כל חילוף מהצורה $(1\ k)$ מקיים: $(1\ k)=(2\ \cdots \ n)^{(k-2)}(1\ 2)(2\ \cdots \ n)^{-(k-2)}$.

ייצוג חשוב נוסף של החבורה הסימטרית ניתן על ידי אוסף החילופים $\sigma _{i}=(i\ i+1)$ עבור $1\leq i\leq n-1$. אוסף היחסים על יוצרים אלו נוצר על ידי יחסי ההתחלפות של חילופים זרים (דהיינו, $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}$ כאשר $|i-j|>1$), יחס הצמה ($\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}$) והיותו של כל חילוף אינוולוציה ($\sigma _{i}^{2}={\text{id}}$).

מחלקות צמידות

הצמדה של מחזור שומרת על מבנה המחזור: $\sigma (i_{1}\ i_{2}\ \cdots \ i_{k})\sigma ^{-1}=(\sigma (i_{1})\ \sigma (i_{2})\ \cdots \ \sigma (i_{k}))$ ולפיכך מחלקות הצמידות ב-$\ S_{n}$מתאימות למבני מחזורים זרים.

תורת ההצגות

ההצגות הליניאריות האי-פריקות של החבורה הסימטרית $S_{n}$ נמצאות בהתאמה לחלוקות של n, ואכן מספר ההצגות האי-פריקות שווה ל-p(n). כמו בחבורות אחרות, תורת ההצגות המודולרית מורכבת יותר: ההצגות האי-פריקות מתאימות לחלוקות "p-רגולריות" (אלו שבהן כל חלק חוזר פחות מ-p פעמים), אבל יש גם הצגות אי-פרידות שאינן אי-פריקות.

ראו גם

• סימטריה
• תמורה
• חבורת סימטריות
• דטרמיננטה
• חבורת התמורות הזוגיות

קישורים חיצוניים

• החבורה הסימטרית, באתר MathWorld (באנגלית)