יחס הופכי

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי על קבוצה , הוא היחס המסומן ומוגדר על ידי . לדוגמה, היחס ההופכי ליחס על הוא היחס .

תכונות של יחסים המשתמרות ביחס ההופכיעריכה

  • סימטריה. בפרט אם   סימטרי, אז  .
הוכחה:  .
הוכחה:  .
הוכחה:  .
הוכחה: מההגדרה   נובע כי  , ולכן  .
הוכחה:   ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה:   ולכן אם   א-סימטרי אז   א-סימטרי.

תכונות נוספות של היחס ההופכיעריכה

  • ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו:  . תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ-"אם ב  אז ב " ל-"ב  אם ורק אם ב ".
הוכחה: לכל x,y -  
  • הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה:  .
הוכחה: לכל x,y -   ולכן  .
  • ההופכי מתפלג מעל החיתוך:  .
הוכחה:לכל x,y -  .
  • ההופכי מתפלג מעל האיחוד:  .
הוכחה: לכל x,y -  .
  • ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך:  .
הוכחה: לכל x,y -  .
  • מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.

דוגמאותעריכה

  • לכל קבוצה  , היחס ההופכי ליחס   על   הוא  .
  • לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל, היחס ההופכי הוא הפונקציה ההופכית.
  • היחס ההופכי ליחס "קיימת פונקציה חד-חד-ערכית" בין קבוצות הוא היחס "קיימת פונקציה על".
  • היחס ההופכי ליחס "  אם ורק אם קיים אדם x כך ששם המשפחה של x הוא y" בין שמות של אנשים ומשפחות הוא היחס "  אם ורק אם קיים אדם y כך ששם המשפחה של y הוא x".

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה