באנליזה מרוכבת, למת שוורץ (Schwarz lemma) היא טענה הקובעת כי פונקציה מרוכבת אנליטית ממעגל היחידה לעצמו המתאפסת באפס נשלטת על ידי פונקציית הזהות. הלמה נובעת כמעט ישירות מעקרון המקסימום של פונקציות אנליטיות.

את הלמה ניסח והוכיח הרמן שוורץ. הלמה, פשוטה ככל שתהיה, היא הבסיס לטענות רבות אחרות, חלקן מורכבות במיוחד, כמו משפט המיפוי של רימן.

ניסוח

עריכה

יהי   עיגול היחידה ללא השפה.

תהי   פונקציה אנליטית, כך ש- . מתקיים:

  •  .
  •  .

אם בסעיף הראשון מתקיים שוויון עבור  , או שמתקיים שוויון בסעיף השני, אזי קיים   כך ש- .

הוכחה

עריכה

נגדיר פונקציית עזר:

 

אז   אנליטית על  . לכל   ולכל   מתקיים לפי עקרון המקסימום:

 

אם משאיפים  , שוב לפי עקרון המקסימום מקבלים  , כלומר   (הגרירה היא לכל  , אך ל-  זה ברור). בפרט, עבור אי השוויון ל-  ב-  מקבלים  .

כעת, אם מתקיים שוויון כנ"ל באחד הסעיפים, הרי ש-  עבור נקודה פנימית של  , ולכן לפי עקרון המקסימום   קבועה ושווה לקבוע עם ערך מוחלט 1, ולכן מקבלים  .

למת שוורץ-פיק

עריכה

גרסה נוספת (ולמעשה שקולה) ללמת שוורץ היא למת שוורץ-פיק (על שם גאורג פיק):

תהי   אנליטית. אז לכל   מתקיים:

 

ומתקיים אי שוויון שוורץ-פיק:

 

הוכחה

עריכה

לכל   נגדיר  . קל לבדוק כי   אנליטית והפיכה, עם הפכית  .

אם כן הטענה שצריך להוכיח היא  . היות שהפונקציה הפיכה, אפשר להחליף  , ונקבל ששקול להוכיח  .

כעת נשתמש בלמת שוורץ - נגדיר  . אז  , ומתקיים  , ולכן מקבלים הדרוש.

כדי להסיק את אי שוויון שוורץ-פיק, נשים לב שמהחלק הראשון נובע  ; אי השוויון נובע כאשר משאיפים  .

תוצאות נוספות

עריכה

להלן תוצאות נוספות מלמת שוורץ.

  • כל פונקציה אנליטית   בעלת שתי נקודות שבת היא הזהות.
  • יהי   חצי המישור המרוכב העליון. כל פונקציה   מקיימת את אי השוויון:

 .

לקריאה נוספת

עריכה
  • S. Dineen (1989), The Schwarz Lemma, Oxford

קישורים חיצוניים

עריכה
  • למת שוורץ, באתר MathWorld (באנגלית)