מיוריזציה

במתמטיקה, מיוֹריזציה, מג'וֹריזציה או מיוּר הוא קדם סדר חלקי בין שני וקטורים (או סדרות) של מספרים ממשיים, בו וקטור אחד "חוסם" את השני ובמובן מסוים "גדול יותר" ממנו.

הגדרה פורמלית

בהינתן מספר טבעי $d\in \mathbb {N}$ ווקטור $a\in \mathbb {R} ^{d}$, אומרים כי $a$ הוא וקטור לא-עולה אם ורק אם לכל $1\leq i\leq n-1$ מתקיים ש-$a_{i}\geq a_{i+1}$.

עבור זוג וקטורים לא-עולים $a,b\in \mathbb {R} ^{d}$ אומרים כי $a$ ממייר את $b$ (או $a$ גובר על $b$) אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

1. $\sum _{i=1}^{d}a_{i}=\sum _{i=1}^{d}b_{i}$
2. לכל $1\leq k\leq d-1$ מתקיים כי $\sum _{i=1}^{k}a_{i}\geq \sum _{i=1}^{k}b_{i}$

ומסמנים $a\succeq b$.

עבור $a$ ו-$b$ כלליים (לא בהכרח לא-עולים) אומרים כי $a$ או גובר על $b$ אם ורק אם $a^{\downarrow }\succeq b^{\downarrow }$ כאשר $a^{\downarrow }$ ו-$b^{\downarrow }$ הם הוקטורים הנוצרים על-ידי סידור $a$ ו-$b$ בסדר לא-עולה בהתאמה.

הגדרות אלטרנטיביות

ניתן להוכיח כי בהינתן $d\in \mathbb {N}$ ו-$a,b\in \mathbb {R} ^{d}$, $a\succeq b$ לפי ההגדרה לעיל אם ורק אם קיימת מטריצה דו-סטוכסטית $D\in \mathbb {R} ^{d\times d}$ כך ש-$b=Da$.

כמו כן, $a\succeq b$ אם ורק אם ניתן לייצג את $b$ כצירוף קמור של תמורות על איברי $a$. כלומר, קיימות מטריצות תמורה $P_{1},\dots ,P_{k}\in \mathbb {R} ^{d\times d}$ ומקדמים $c_{1},\dots ,c_{k}\in \mathbb {R}$ כך ש-

1. $c_{i}>0$ לכל $1\leq i\leq k$
2. $\sum _{i=1}^{k}c_{i}=1$
3. $\sum _{i=1}^{k}c_{i}P_{i}a=b$

משמעות ההגדרה האחרונה היא ש-$b$ נמצא בתוך הפאון הרב-ממדי הקמור הנוצר מתמורות על איברי $a$.

הוכחת שקילות ההגדרה האחרונה לקודמותיה מתבצעת באמצעות משפט בירקהוף-פון נוימן.

יישומים

• בהינתן שני אופרטורים הרמיטיים $H$ ו-$H'$ נאמר כי $H$ גובר על $H'$ אם וקטור הערכים העצמיים של $H$ גובר על זה של $H'$.

• אי-שוויון קאמאראטה: בהינתן שתי סדרות של מספרים ממשיים אי-שליליים $a,b\in \mathbb {R} ^{d}$, מתקיים: $a$ גובר על $b$ אם ורק אם לכל פונקציה קמורה $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$‏, $\sum _{i=1}^{d}h(a_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(b_{i})$.
• אי-שוויון מוירהד: בהינתן $a,b\in \mathbb {R} ^{d}$ כך ש-$a\succeq b$, לכל $x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}>0$ מתקיים: $\sum _{\sigma \in S_{d}}{x_{\sigma 1}^{b_{1}}x_{\sigma 2}^{b_{2}}\cdots x_{\sigma d}^{b_{d}}}\leq \sum _{\sigma \in S_{d}}{x_{\sigma 1}^{a_{1}}x_{\sigma 2}^{a_{2}}\cdots x_{\sigma d}^{a_{d}}}$ כאשר $S_{d}$ היא החבורה הסימטרית על $d$.

קישורים חיצוניים

• מיוריזציה, באתר MathWorld (באנגלית)
• שי גירון ורן טסלר, מיוריזציה ואי שוויון קאמאראטה