ויקיפדיה

מצבים קוהרנטיים – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
מ בוט: החלפת טקסט אוטומטית (-<div style="text-align: *center;">[ \n]*<math>(.+?)</math>[ \n]*</div> +<math display="block">\1</math>)
שורה 9:
===הגדרה===
מצבים קוהרנטיים הם המצבים העצמיים של אופרטור ההשמדה (נקרא גם אופרטור ההורדה, החיסול, ההריסה; ראה אופרטורי סולם בערך [[מתנד הרמוני קוונטי]]). כדי להסביר את מהות הגדרה זו נתמקד במקרה הפשוט של [[מתנד הרמוני קוונטי]] ב[[ממד (פיזיקה)|ממד]] אחד המתואר על ידי ה[[המילטוניאן]]:
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math>\ H= \frac{p^2}{2 m} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2</math></div>
כאשר <math>\ \omega</math> היא ה[[תדירות]] העצמית של המתנד, <math>\ x</math> הוא אופרטור המיקום של החלקיק ו- <math>\ p</math> אופרטור ה[[תנע]]. אופרטורי ההשמדה והיצירה (אופרטורי הסולם) של בעיה מוגדרים להיות:
<div style="text-align: center;">
שורה 19:
 
מצב קוהרנטי <math>\ |z \rangle</math> (ב[[סימון דיראק|כתיב דיראק]]) הוא מצב המקיים:
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math>a |z \rangle = z|z \rangle</math></div>
כאשר <math>\ z</math> הוא [[מספר מרוכב]] שרירותי.
 
שורה 25:
אפשר למצוא מההגדרה הזאת את ההצגה של המצב הקוהרנטי <math> |z\rangle </math> בבסיס המספר <math> \{ |n\rangle \}_{n=0}^\infty </math>:{{ש}}
נכתוב
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math> |z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n|n \rangle</math></div>
נפעיל את אופרטור ההורדה:
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math> a|z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n a|n \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n \sqrt{n} |n-1\rangle</math></div>
על ידי החלפת אינדקסים נקבל
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math> a|z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_{n+1} \sqrt{n+1} |n\rangle</math></div>
ולפי הגדרה זה צריך להיות שווה ל- <math> z|z\rangle </math> ולכן צריך להתקיים בהכרח <math> z\cdot \alpha_n = \sqrt{n+1} \alpha_{n+1} </math>. נקבל את יחס הרקורסיה
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math> \alpha_{n+1}=\frac{z}{\sqrt{n+1}} \alpha_n</math></div>
לכן בהינתן <math>\alpha_0</math> אפשר לראות שהאיבר הכללי נתון ע"י
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math> \alpha_{n}=\frac{z^n}{\sqrt{n!}} \alpha_0</math></div>
כעת, בשביל נרמול נדרוש ש- <math> \sum_{n=0}^\infty |\alpha_n|^2 = 1</math>. כלומר
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math> |\alpha_0|^2 \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{|z^2|^n}{n!} =1 \Rightarrow |\alpha_0|^2\cdot e^{|z^2|} =1 \Rightarrow |\alpha_0|=e^{-\frac{|z|^2}{2}}</math></div>
לסיום, משום שהפאזה הגלובלית לא משנה להגדרת המצב, נבחר את <math>\alpha_0</math> להיות ממשי ונקבל
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math> |z\rangle = e^{-\frac{|z|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle </math></div>
===בניה של מצבים קוהרנטיים===
מההגדרה שלמעלה נובע כי מצב קוהרנטי מתואר על ידי:
<math display="block">\ |z\rangle = e^{-\frac{|z|^2}{2}}e^{ z a^\dagger} |0 \rangle</math></div>▼
<div style="text-align: center;">
▲<math>\ |z\rangle = e^{-\frac{|z|^2}{2}}e^{ z a^\dagger} |0 \rangle</math></div>
כאשר <math>\ |0\rangle</math> הוא מצב היסוד (כלומר המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר) של המתנד ההרמוני. ניתן להוכיח פתרון זה על ידי השימוש בתכונות אופרטורי היצירה וההשמדה:
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math>\ a |n \rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle</math></div>
<math display="block">\ a^\dagger |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle</math></div>▼
<div style="text-align: center;">
▲<math>\ a^\dagger |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle</math></div>
כאשר <math>\ |n\rangle</math> הוא המצב המתאר את הרמה ה-n-ית של המתנד.
 
אפשרות אחרת היא לבנות את המצבים הקוהרנטיים על ידי פתרון של [[משוואה דיפרנציאלית|המשוואה הדיפרנציאלית]] המגדירה אותם. אופרטור התנע בהצגת המקום הוא <math>\ p=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}</math> ולכן מהגדרת המצבים הקוהרנטיים נובע שהם מקיימים את המשוואה:
<math display="block">\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {\hbar \over m \omega}\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi_z(x)=z \psi_z(x)</math></div>▼
<div style="text-align: center;">
▲<math>\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {\hbar \over m \omega}\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi_z(x)=z \psi_z(x)</math></div>
פתרון משוואה זו הוא:
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math>\ \psi_z(x)= \left( \frac{\hbar \pi}{m \omega} \right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar}(x-\bar{x})+\frac{i}{\hbar} x \bar{p}}</math></div>
כאשר
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math>z = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\bar{x} + {i \over m \omega} \bar{p} \right)</math></div>
 
==הדינמיקה של מצבים קוהרנטיים==
המצבים הקוהרנטיים אינם מצבים עצמיים של המערכת, ולכן הם משתנים בזמן. מצבים אלו
מאופיינים על ידי שני מספרים: החלק הממשי והחלק הדמיוני של המספר המרוכב <math>\ z</math>, שהוא הערך העצמי של אופרטור ההשמדה. מספרים אלו מגדירים את ערכי התוחלת של המקום והתנע של המצב הקוהרנטי:
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math>\bar{x}= \langle z|x|z \rangle=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \langle z|a+a^\dagger|z\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (z+z^*) = \sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}} \operatorname{Re}(z) </math></div>
<math display="block">\bar{p}= \langle z|p|z \rangle=\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}\frac{1}{i}\langle z | a-a^\dagger |z\rangle = \sqrt{2\hbar m \omega} \operatorname{Im}(z)</math></div>▼
<div style="text-align: center;">
▲<math>\bar{p}= \langle z|p|z \rangle=\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}\frac{1}{i}\langle z | a-a^\dagger |z\rangle = \sqrt{2\hbar m \omega} \operatorname{Im}(z)</math></div>
כמו כן, אם לדוגמה נניח שפונקציית הגל ברגע <math>t=0</math> היא מצב קוהרנטי <math> |z\rangle </math> כאשר <math> z=|z|e^{i\theta} </math>, יעניין אותנו לראות מה קורה בזמן:
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math>|\psi\rangle (t) = e^{-\frac{|z|^2}{2}} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\sqrt{n!}} e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}|n\rangle</math></div>
האנרגיה של המצב <math>|n\rangle </math> היא <math> \hbar \omega (n+\frac{1}{2}) </math> ולכן
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math>|\psi\rangle (t) = e^{-\frac{|z|^2}{2}} \cdot e^{-i\frac{\omega}{2}t} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z\cdot e^{-i\omega t})^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math></div>
אך נשים לב שזה בדיוק המצב הקוהרנטי <math>|z\cdot e^{-i\omega t} \rangle</math> (עד כדי פאזה גלובלית שלא משנה את המצב, <math>e^{-i\frac{\omega}{2} t} </math> ). משום שהחלק הממשי של <math>z</math> הוא המיקום הממוצע והחלק המדומה שלו הוא התנע הממוצע, יוצא שב"מרחב הפאזה" של המיקום והתנע הממוצעים המערכת מתנהגת ממש כמו שהייתה מתנהגת במרחב הפאזה באוסילטור הרמוני קלאסי. בגלל התכונה הזאת ותכונות נוספות ניתן לאמר שהמצבים הקוהרנטיים הם המצבים הכי דומים בהתנהגותם לאוסילטורים קלאסיים.
 
==יחס אי-וודאות של מצבים קוהרנטיים==
מצבים קוהרנטיים הם [[חבילת גלים|חבילות גלים]] בעלי יחס [[עקרון אי הוודאות|אי-הוודאות]] המינימלי האפשרי:
<divmath styledisplay="text-align: center;block"><math>\ \Delta p \Delta x=\frac{\hbar}{2}</math></div>
כאשר <math>\ \Delta x</math> ו- <math>\ \Delta p</math> הם אי הודאויות במיקום ובתנע של החלקיק, בהתאמה.
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/מצבים_קוהרנטיים"