ויקיפדיה

תת-חבורת הקומוטטורים – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ בוט החלפות: \1אפ\2
שורה 2:
ב[[מתמטיקה]] ובמיוחד ב[[אלגברה מופשטת]], '''תת חבורת הקומוטטורים''' <math>G'</math> של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>G</math> היא התת-חבורה ה[[יוצרים של חבורה|נוצרת]] על ידי כל ה[[קומוטטור|קומוטטורים]] של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא [[חבורה אבלית|אבלית]]: היא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלית]] אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, ה[[חבורת מנה|מנה]] <math>G/G'</math> היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.
 
איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים איפיוןאפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה <math>g_1 \cdot g_2 \cdot \dots \cdot g_n</math> שכך שיש [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] <math>\pi</math> המקיימת <math>g_{\pi(1)} \cdot g_{\pi(2)} \cdot \dots \cdot g_{\pi(n)} = e</math> כאשר <math>e</math> הוא איבר היחידה בחבורה.
 
==הגדרה==
שורה 8:
 
==תכונות==
תת-חבורת הקומוטטורים היא ה[[תת חבורה נורמלית|תת-חבורה הנורמלית]] הקטנה ביותר כך ש[[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>G/G'</math> היא [[חבורה אבלית|אבלית]]. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית <math>N</math> של <math>G</math>, המנה <math>G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G' \subseteq N</math>. זהו למעשה איפיוןאפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה <math>G/G'</math> נקראת ה'''אבליזציה''' של <math>G</math>.
 
מכיוון ש[[הומומורפיזם (אלגברה)#הומומורפיזם בין חבורות|הומומורפיזם]] <math>f : G \to H</math> מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה <math>f(G')\subset H'</math>. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-<math>[A/N,B/N]=[A,B]N/N</math> ובפרט <math>(G/N)'=G'N/N</math>.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/תת-חבורת_הקומוטטורים"