עץ פיתגורס

עץ פיתגורס הוא פרקטל במישור שנתגלה על ידי אלברט בוסמן, מורה הולנדי, בשנת 1942. הוא קרוי על שם המתמטיקאי היווני בן העת העתיקה פיתגורס, בשל העובדה שכל שלושה ריבועים סמוכים בפרקטל יוצרים משולש ישר-זווית, ולכן מקיימים את משפט פיתגורס.

עץ פיתגורס צבוע כך ששלבים תחילתיים בבנייתו צבועים בצהוב ושלבים מתקדמים בירוק.

בנייה

כמו פרקטלים רבים עץ פיתגורס מתקבל מבנייה בת אינסוף שלבים. בשלב האפס מתחילים עם ריבוע עם צלע באורך 1. בשלב הראשון בונים שני ריבועים זהים כך שהם יוצרים משולש ישר-זווית שווה-שוקיים עם צלע הריבוע ההתחלתי. בהתאם למשפט פיתגורס אורך הצלע של כל אחד מן הריבועים הללו הוא ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$. בשלב השני בונים על גבי כל אחד מן הריבועים האלו שני ריבועים זהים באותו אופן בדיוק ומתקבל שאורך הצלע של כל אחד מן הריבועים החדשים הוא ${\tfrac {1}{2}}$. ובאופן כללי בשלב ה-$n$-י בונים $2^{n}$ ריבועים על הצלע של $2^{n-1}$ הריבועים שנבנו בשלב הקודם, כאשר לכל אחד מהם צלע באורך ${\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}^{n}$. עץ פיתגורס מתקבל מחזרה על התהליך אינסוף פעמים.

Construction of the Pythagoras tree, order 1	Order 2	Order 3	Order 4
שלב 0	שלב 1	שלב 2	שלב 3

תכונות

• עץ פיתגורס הוא פרקטל בעל דמיון עצמי בכל קנה מידה. כל ריבוע בעץ פיתגורס יוצר גרסה מוקטנת של עץ פיתגורס בעצמו.
• עץ פיתגורס הוא עצם דו-ממדי. הוא מורכב משני עותקים של עצמו שכווצו בפקטור ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$. לכן הממד הפרקטלי שלו הוא ${\tfrac {\log {(2)}}{\log {({\sqrt {2}}})}}=2$.
• עץ פיתגורס כלוא בתוך מלבן בגודל 6×4.
• לפי משפט פיתגורס סכום השטחים של שני הריבועים הנבנים על כל ריבוע, שווה לשטח הריבוע עליו הם נבנים. מכיוון שהשטח של הריבוע התחילי הוא 1 נובע מכך באינדוקציה (או באופן ישיר - בכל שלב נוספים $2^{n}$ ריבועים ששטחם ${\left({\tfrac {1}{2}}\right)}^{n}$) כי בכל שלב נוסף שטח השווה ל-1, ולכן לכאורה שטחו של עץ פיתגורס אינסופי. אולם למעשה החל מהשלב החמישי בבנייתו, עץ פיתגורס מתחיל לחפוף את עצמו וריבועים נוצרים על גבי ריבועים קיימים. מכיוון שעץ פיתגורס כלוא בתוך מלבן 6×4 בהכרח שטחו קטן מ-24. חסם טוב יותר על שטחו של העץ קובע כי שטחו של העץ הוא בין 5 ל-18. ניתן להציג חסמים טובים יותר אך הערך המדויק של השטח אינו ידוע.

הכללה

עץ פיתגורס מוכלל הוא הכללה של עץ פיתגורס כך שעל כל ריבוע נבנים שני ריבועים שאינם בהכרח זהים. העץ נבנה באותה צורה כמו עץ פיתגורס רק שאת הריבועים הזהים ניתן להחליף בכל זוג ריבועים היוצרים משולש ישר-זווית עם הריבוע עליהם הם נבנים. עץ פיתגורס מוכלל שאינו עץ פיתגורס רגיל הוא א-סימטרי.

• 
  עץ פיתגורס מוכלל בו המשולשים בין הריבועים הם משולשי 30-60-90.
• 
  בנייה של עץ פיתגורי מוכלל.
• 
  אנימציה של עצי פיתגורס מוכללים שונים. החל מעץ פיתגורס רגיל ועד לעץ מנוון שהוא "מלבן" עם אורך אינסופי.

הכללה נוספת היא החלפה של המשולש ישר הזווית במשולש שווה-שוקיים שזווית הראש בו שונה מ-90. לדוגמה, כאשר הזווית היא 60, המשולשים שנוצרים הם שווי-צלעות, וכל הריבועים שנוצרים זהים לריבוע המקורי. החפיפה הראשונה מתרחשת בשלב הרביעי, והצורה הסופית שנוצרת היא מערך משושים משוכללים כך שמקיפים אותם ריבועים.

שלב 4 בבנייה

שלב 10 בבנייה

בגבול שבו זוויות הבסיס הן 90 אין שום חפיפה. לא ידוע קשר בין זוויות הבסיס לבין השלב הראשון בו מתרחשת חפיפה.

קישורים חיצוניים

• סקריפט לייצור עצים פיתגוריים ב-MATLAB
• עץ פיתגורס, באתר MathWorld (באנגלית)