מלבן

צורה גאומטרית ממשפחת המרובעים
מלבן עם אלכסונים

בגאומטריה, מלבן הוא מרובע שבו כל הזוויות ישרות. מלבן הוא מקרה פרטי של מקבילית ושל טרפז שווה-שוקיים. מלבן בעל זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע. אורכו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הארוכות יותר, ורוחבו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הקצרות יותר.

תכונותעריכה

  • הצלעות הנגדיות של המלבן שוות באורכן, ומקבילות זו לזו.
  • האלכסונים במלבן שווים באורכם, ונקודת החיתוך שלהם מחלקת כל אלכסון לשני חלקים שווים ומכך נובע שהאלכסונים חוצים זה את זה ושווים זה לזה.
  • כל מלבן ניתן לחסום במעגל, אך הוא איננו חוסם מעגל (אלא אם כן הוא ריבוע).
  • מלבן בעל 2 צלעות מקבילות שוות.
  • כל זוויותיו של המלבן שוות.
  • כל זוויותיו הפנימיות הן זוויות ישרות.

אם צלעות המלבן הן   ו- , אז:

  • היקף המלבן שווה לסכום אורכי צלעותיו:  
  • שטח המלבן שווה למכפלת אורכו ברוחבו,  .
  • אורכו של האלכסון במלבן ניתן לחישוב על פי משפט פיתגורס:  .

יחסי ההכלה של המלבןעריכה

יחסי ההכלה בין מלבן לריבוע - שיטחו של ריבוע לעומת מלבן, כאשר היקפי המלבן והריבוע זהים, יהיה גדול יותר. כאשר יהיו שווים - נקבל ריבוע.

יחסי ההכלה בין מלבן למעוין  - המלבן יהיה גדול יותר בשטחו כי אורך ורוחב צלעות המלבן אינם שווים.

יחסי ההכלה בין מלבן למקבילית - המקבילית היא כמו המלבן,  גם אצל המקבילית האורך והרוחב של הצלעות שונה אך גם סוג הצלעות שונה ולכן ניתן להסיק שגודל המקבילית גדול יותר

 
מלבן בגודל 5 על 4

משפטים הפוכיםעריכה

  • מקבילית בעלת זווית ישרה היא מלבן.
  • מקבילית שאלכסוניה שווים זה לזה היא מלבן.

בתחומים אחריםעריכה

בחשבון האינפיניטסימלי, אפשר לחשוב על אינטגרל רימן כגבול של סכומי שטח של מלבנים בעלי רוחב שרירותי, ולמעשה נעשה שימוש במלבן להגדרת המושג שטח.

חבורת הסימטריות של מלבן שאינו ריבוע היא חבורת הארבעה של קליין.

מלבן הזהבעריכה

מלבן הזהב הוא מלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב. יש הטוענים שהוא בעל ערך אסתטי מיוחד, ולכן ניתן למצוא אותו ביצירות אמנות. יש הטוענים שהוא נמצא גם במבני העת העתיקה, כגון הפרתנון באתונה ואף הפירמידות במצרים, אך יש לא מעטים המטילים ספק בכך.

קבוצות אינסופיות של מלבנים חסומיםעריכה

בכל מרובע בעל אלכסונים מאונכים, ניתן לחסום 2 קבוצות אינסופיות של מלבנים:

(i) קבוצת המלבנים שצלעותיהם מקבילות לאלכסוני המרובע.
(ii) קבוצת המלבנים המוגדרים בעזרת מעגלי נקודות פסקל.[1]

ריצוףעריכה

ניתן לרצף את המישור בעזרת מלבנים בדרכים רבות, לדוגמה:

תכונות דואליותעריכה

המצולע הדואלי של המלבן הוא המעוין:

  • במעוין כל הצלעות שוות ובמלבן כל הזוויות שוות.
  • במעוין זוויות נגדיות שוות ובמלבן צלעות נגדיות שוות.
  • למעוין יש מעגל חסום ולמלבן יש מעגל חוסם.
  • למעוין יש ציר סימטריה דרך כל זוג זוויות נגדיות, ולמלבן יש ציר סימטריה דרך כל זוג צלעות נגדיות.
  • האלכסונים של מעוין נפגשים בזוויות שוות, ואלכסונים של מלבן נחתכים באורכים שווים.
  • חיבור אמצעי הצלעות של מעוין יוצר מלבן, וחיבור אמצעי הצלעות של מלבן יוצר מעוין.

קישורים חיצונייםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ David Fraivert, A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles, Journal for Geometry and Graphics, 2019(באנגלית)