מספרים חיוביים ושליליים

במתמטיקה, במערכת המספרים הממשיים, מספר חיובי הוא מספר הגדול מ-0, ומספר שלילי הוא מספר קטן מ-0. מספרים חיוביים ושליליים יחד נקראים "מספרים מכוונים", כי מתחשבים בכיוון שלהם על ציר המספרים יחסית לנקודת האפס.

מספר חיובי שווה לערך המוחלט של עצמו. המספרים החיוביים הם תת-קבוצה של קבוצת המספרים האי-שליליים, הכוללת את כל המספרים החיוביים ו-0.

ערכו המוחלט של מספר שלילי שווה למספר הנגדי לו. מספר שלילי נכתב עם סימן מינוס לפניו. לדוגמה, 5- מבטא מספר שלילי שערכו המוחלט הוא 5.

ייצוג חזותי של חיבור של מספרים חיוביים ושליליים. כדורים גדולים יותר מייצגים מספרים בגודל גדול יותר.

חוקי החשבון למספרים שליליים מבטיחים שהרעיון האינטואיטיבי של ניגוד, או היפך, בא לידי ביטוי.

חיבור של שני מספרים שליליים דומה מאוד לחיבור של שני מספרים חיוביים. לדוגמה,

$(-3)+(-5)=(-8)$

הרעיון הוא שאפשר לשלב שני חובות לחוב אחד בסדר גודל גדול יותר. כאשר מחברים יחד תערובת של מספרים חיוביים ושליליים, אפשר לחשוב על המספרים השליליים כעל כמויות חיוביות הנגרעות. לדוגמה,

$8+(-3)=8-5=3$

כאשר כופלים שני מספרים בעלי אותו סימן, התוצאה היא מספר חיובי. כאשר כופלים שני מספרים בעלי סימנים מנוגדים, התוצאה היא מספר שלילי. דוגמאות:$\ -3\cdot 7=-21,-8\cdot -4=32,5\cdot 2=10.$

השימוש במספרים מכוּונים בחיי יומיום הוא רב. למשל במדידת טמפרטורות (מעל ומתחת לאפס), במדידת גבהים (מעל ומתחת לגובה פני הים) ובקביעת מצב חשבון הבנק (יתרה חיובית ויתרה שלילית). כאשר נהגה רעיון המספרים השליליים, הדבר קודם בסערה, כיוון שבאותה העת היה זה צעד מאוד לא אינטואיטיבי, ואף התפרסמו מאמרי ביקורת אשר יצאו נגד המספרים החדשים.

בשדה המספרים המרוכבים אין משמעות לחיוביות או שליליות: אי אפשר להפוך אותם לשדה סדור משום שהמרוכבים אינם שדה ממשי פורמלית.

היסטוריה

אוקלידס, בספרו "יסודות", זיהה את המושג "מספר" עם אורך של קטע, וכך קיבע אל תוך המחשבה המערבית את התפיסה שלפיה המספרים השליליים אינם "אמיתיים", אלא לכל היותר כלי עזר לחישוב. דיופנטוס, בן המאה השלישית, התייחס בספרו "אריתמטיקה" למשוואה שפתרונה הוא מספר שלילי, וציין שזו משוואה אבסורדית.

מספרים שליליים מופיעים ככל הנראה לראשונה בספר "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה", שחובר בידי מלומדים סינים בתקופת שושלת האן (כתיבת הסתיימה במאה ה-1 לספירה). במאה השביעית התייחסו מתמטיקאים הודים למספרים שליליים כאל חוב. מתמטיקאים מוסלמים הכירו בתקופה זו מספרים שליליים דרך עבודותיהם של המתמטיקאים ההודים, אך השתמשו בהם בצמצום. המתמטיקאי אל-ח'ואריזמי, בן המאה התשיעית לא השתמש במספרים שליליים בספרו "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה", אך כעבור 50 שנה השתמש בהם המתמטיקאי המצרי אבו כאמל.

במאות ה-15 וה-16 הקונצנזוס באירופה היה שמספרים שליליים הם אבסורדיים.

ז'אן לה רון ד'אלמבר, בחיבורו "הבהרה על יסודות האלגברה" (סביבות 1765) כתב: "יש המתייחסים אליהם [אל המספרים השליליים] כאל פחות ממאומה, מושג אבסורדי בפני עצמו; יש המתייחסים אליהם כאל חוב - רעיון מוגבל, ובשל כך בלתי-מדויק; אחרים רואים בהם גדלים הפוכים בכיוונם לחיובי - רעיון שהגאומטריה תומכת בו בדוגמאות, אך יש לו יוצאי דופן תכופים". ב-1758 כתב פרנסיס מסרס (1731-1824), חבר ה-Clare College בקיימברידג' "תזה על השימוש בסימן השלילי באלגברה", ובה דחה את הרעיון של מספרים שליליים כשלעצמם. בפרט, הוא טען, לא ייתכן שלמספר יהיו שני שורשים שונים (חיובי ושלילי).

גישה זו השתנתה רק באמצע המאה ה-19, עם תחילת עלייתה של האלגברה המופשטת. בשנת 1843 כתב אוגוסטוס דה מורגן: "היצירים האלה [המספרים השליליים] זכו בקיומם, למרות החוסר הברור בהסבר רציונלי, המאפיין כל ניסיון לתאוריה שלהם". עם זאת, כיסי התנגדות למושג המספר השלילי נותרו עד זמן מאוחר כסוף המאה ה-19. ב-1890 כתב אנטוניו חוסה טייקסאירה (1830-1900) ש"לכמויות שליליות אין כל קיום אריתמטי".

במזרח הרחוק, לעומת זאת, המספרים השליליים טופלו באותם כלים כמו המספרים החיוביים: בסין, כבר מן המאה ה-2 לפנה"ס מוטות אדומים, ממוזלים, סימנו מספרים חיוביים, ומוטות שחורים סימנו מספרים שליליים. המספרים השליליים הוכרו כלגיטימיים בשלבי הביניים של פתרון הבעיה, אבל לא כתוצאה סופית. כללים מפורשים לטיפול במספרים שליליים מופיעים אצל בראהמגופטה בהודו, בסביבות שנת 650 לספירה.

ראו גם

• פונקציית הסימן

קישורים חיצוניים

• מספרים מכוונים - מספרים שליליים וחיוביים - הקדמה, באתר לרגו (LerGO)
• מספרים מכוונים וציר המספרים, באתר לרגו (LerGO)
• חיבור מספרים מכוונים, באתר לרגו (LerGO)
• מספרים חיוביים ושליליים, באתר MathWorld (באנגלית)

• Corry, Leo. A Brief History of Numbers. First edition, Oxford University Press, 2015
• David Mumford, Why am I a Platonist, Newsletter of the European Mathematical Society, Dec. 2008, pp: 27 - 29
• Phillip J. Davis, Why am I a (moderate) Social Consructivist, Newsletter of the European Mathematical Society, Dec. 2008", pp. 30 - 31