מעגל תשע הנקודות

בגאומטריה, מעגל תשע הנקודות (נקרא גם "מעגל אוילר" או "מעגל פיירבך") הוא מעגל העובר במשולש כלשהו דרך תשע הנקודות הבאות:

  • אמצעי הצלעות
  • עקבי הגבהים, כלומר הנקודות שבהן הגבהים נפגשים עם הצלעות
  • אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.
מעגל תשע הנקודות. תשע הנקודות מסומנות בכחול, הגבהים בירוק והמעגל באדום

בשנת 1765 גילה לאונרד אוילר שתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-1822 גילה קרל וילהלם פיירבך, שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים, והראה שהמעגל הזה משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש. זמן קצר לאחר מכן גילה אולרי טרקם שהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.

בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות, עקב התלכדותן של שתי נקודות לאחת: במשולש שווה-שוקיים ישנן שמונה נקודות (משום שבאחת הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש שווה-צלעות - שש (משום שבכל הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש ישר-זווית - חמש ובמשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ("משולש כסף") - ארבע.

במשולש שווה-צלעות, מעגל תשע הנקודות מתלכד עם המעגל החסום במשולש.

תכונותעריכה

  • מעגל תשע הנקודות מתקבל מהומותטיה במקדם חצי של המעגל החוסם דרך מפגש הגבהים. מכאן נובע:
    • המרכז של מעגל תשע הנקודות נמצא על ישר אוילר, באמצע הדרך בין מרכז המעגל החוסם ומפגש הגבהים.
    • אורכו של רדיוס מעגל תשע הנקודות שווה לחצי מרדיוס המעגל החוסם את המשולש.
  • המעגל משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש (המעגל החסום ושלושת המעגלים המשיקים לצלעות מבחוץ).
  • נקודת חיתוך קטעי האמצעים של מרובע ציקלי שייכת למעגל תשע הנקודות של משולש האלכסונים.[1][2]
 
EFG משולש האלכסונים של המרובע ABCD, מתקיים — נקודת חיתוך קטעי האמצעים T שייכת למעגל תשע הנקודות של EFG.

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא מעגל תשע הנקודות בוויקישיתוף