גובה (גאומטריה)

בגאומטריה, המושג גובה מוגדר בהקשר של מצולעים וגופים אחדים:

• במשולש הגובה הוא האנך היורד מקודקוד המשולש לצלע שמולו (או המשכה).
• בטרפז ובמקבילית הגובה הוא האנך המחבר בין שתי צלעות מקבילות.
• בפירמידה ובחרוט הגובה הוא האנך היורד מהקודקוד לבסיס.
• במנסרה, בגליל, ובחרוט ופירמידה קטומים, הגובה הוא האנך המחבר בין הבסיסים.
• בכיפה הגובה הוא האנך העולה ממרכז הבסיס המעגלי למעטפת הכדורית.

שלושת הגבהים במשולש

נהוג לסמן קטע זה באות h, מהמילה האנגלית height (גובה).

במשולש

שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת (זה נובע מהכיוון ההפוך למשפט צ'בה). נקודה זו נמצאת, יחד עם מפגש התיכונים ומפגש האנכים האמצעיים, על ישר אוילר.

אם שני משולשים שווים בשלושת הגבהים שלהם, הם חופפים. אכן, שלושת הגבהים מאפיינים את המשולש באופן הבא: נניח ש-$\ h_{1},h_{2},h_{3}$ הם הגבהים לצלעות $\ a_{1},a_{2},a_{3}$ במשולש. נסמן $\ T=h_{1}h_{2}+h_{2}h_{3}+h_{3}h_{1}$. אז שטח המשולש הוא $\ S={\frac {(h_{1}h_{2}h_{3})^{2}}{\sqrt {T(T-2h_{1}h_{2})(T-2h_{2}h_{3})(T-2h_{3}h_{1})}}}$, והצלעות הן $\ a_{i}={\frac {2S}{h_{i}}}$.

הזווית בין שני גבהים משלימה לזווית בין הצלעות. ואם $\ \gamma$ היא הזווית בין שתי צלעות a,b, אז שטח המשולש הוא $\ S={\frac {1}{2}}\sin(\gamma )ab={\frac {1}{2}}{\frac {h_{a}h_{b}}{\sin(\gamma )}}$.

מבין כל המשולשים שהגבהים שלהם לצלעות a,b נתונים, למשולש ישר הזווית (שבו a,b מאונכים) יש השטח המקסימלי. משולש שבו שני גבהים שווים הוא שווה-שוקיים. מבין כל המשולשים שיש להם קודקוד על כל צלע של משולש חד-זווית נתון, המשולש בעל ההיקף הקטן ביותר הוא זה המחבר את עקבי הגבהים (את הבעיה הציע ופתר ג'ובני פניאנו ב-1775).

שימושים

במצולעים, הגובה משמש לחישוב השטח:

• שטח המשולש הוא $S={\frac {h\cdot a}{2}}$ כאשר a הוא אורך הבסיס לגובה.
• שטח המקבילית הוא $S=h\cdot a$ כאשר a הוא אורך הבסיס לגובה. שטח הטרפז הוא $S={\frac {h\cdot (a+b)}{2}}$ כאשר a ו-b הם אורכי הבסיסים.

בגופים, הגובה יכול לשמש לחישוב הנפח:

• נפח הפירמידה והחרוט הוא $V={\frac {h\cdot s}{3}}$ כאשר s הוא שטח הבסיס ו-h הוא הגובה.
• נפח המנסרה והגליל הוא $V=h\cdot s$ כאשר s הוא סכום שטחי הבסיסים ו-h הוא הגובה.
• נפח כיפה שרדיוס בסיסה a וגובהה h הוא $V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2})$.

היסטוריה

המשפט שקובע כי שלושת הגבהים של משולש נפגשים בנקודה אחת לא מנוסח באופן מפורש בטקסטים מתמטיים יווניים ששרדו, אבל נעשה בו שימוש כצעד ביניים בספר הלמות (טענה 5), המיוחס לארכימדס (המאה ה-3 לפנה"ס), שמצטט את "ההערות לחיבור על משולשים ישרי זווית", חיבור שלא שרד. הוא הוזכר גם על ידי פאפוס מאלכסנדריה ("האוסף המתמטי", כרך VII, טענה 62, עמוד 340). המשפט נוסח והוכח באופן מפורש על ידי אל-נאסווי (המאה ה-11) בהערות שכתב על ספר הלמות, שמייחס משפט זה לאל-קושי (המאה ה-10).

הוכחה זאת בערבית תורגמה כחלק מהמהדורות הלטיניות (מתחילת המאה ה-17) של ספר הלמות, אבל לא הייתה מוכרת במיוחד בקרב מתמטיקאים באירופה, כך שהמשפט הוכח מחדש כמה פעמים נוספות בין המאה ה-17 למאה ה-19. סמואל מרולואיס הוכיח אותו בספרו גאומטריה (1619), ואייזק ניוטון הוכיח אותו בחיבורו הלא גמור גאומטריה של קווים עקומים (1680). מאוחר יותר, ויליאם צ'אפל הוכיח אותו ב-1749.

הוכחה אלגנטית במיוחד ניתנה על ידי פרנסואה יוזף-סרבויס (1804) ובאופן בלתי על ידי קרל פרידריך גאוס (1810): שרטטו ישר המקביל לכל אחת מצלעות המשולש דרך קודקוד המשולש הנגדי לאותה צלע, כך שייווצר משולש חדש מנקודות החיתוך של שלושה ישרים אלו. אז המשולש המקורי הוא משולש האמצעים של המשולש החדש (כלומר צלעות המשולש המקורי הן קטעי אמצעים של המשולש החדש), וגבהי המשולש המקורי הם אנכים אמצעיים של המשולש החדש, ולפיכך נפגשים בנקודה אחת (במרכז המעגל החוסם של המשולש החדש).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גובה בוויקישיתוף

• גובה, באתר MathWorld (באנגלית)

• גובה משולש, באתר לרגו (LerGO)