מרחב מנה (אלגברה ליניארית)
באלגברה ליניארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי המתקבל מתת-מרחב , הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן . הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".
הגדרה
עריכהיהא מרחב וקטורי מעל שדה , ויהי תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי עבור כל .[1] ניתן להוכיח כי אכן מדובר ביחס שקילות.
מסמנים את מחלקת השקילות של וקטור להיות , ומתבוננים בקבוצת מחלקות השקילות הללו המסומנת ב- .
ניתן להוכיח כי אם ו- אז בהכרח גם . כמו כן, אם ו- אז גם . בזכות שתי תכונות אלו ניתן להגדיר באופן טבעי על מבנה של מרחב וקטורי מעל , על ידי פעולת חיבור וכפל בסקלר . פעולות אלו אינן תלויות בבחירת הנציג של מחלקות השקילות ולכן מוגדרות היטב.
המרחב הווקטורי עם פעולות אלו נקרא מרחב המנה של על .
לממד של המרחב הווקטורי קוראים הקו-ממד של ב- ומסמנים אותו ב- .[2] ניתן להראות כי אם מרחב וקטורי מממד סופי, אז .
דוגמאות למרחב מנה
עריכה- עבור המרחב הווקטורי ותת-המרחב (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב- , ומרחב זה איזומורפי למרחב .
- באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי ובתת מרחב שלו לאיזה המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה איזומורפי באופן טבעי למרחב .
- באופן עוד יותר כללי, אם , אז מרחב המנה איזומורפי באופן טבעי למרחב .
- יהי מרחב מידה. נקבע כלשהו, ויהי אוסף הפונקציות המדידות מהצורה או , המקיימות . מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא נורמה-למחצה של . כדי להפוך את לנורמה, התכונה החסרה היא כי . כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב- ), ונקבל כי על המרחב , מתקבלת על ידי נורמה טבעית.
קישורים חיצוניים
עריכההערות שוליים
עריכה- ^ Eric W. Weisstein, Quotient Vector Space, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
- ^ Codimension - Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org