מרחב מנה (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי המתקבל מתת-מרחב , הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן . הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".

הגדרהעריכה

יהא   מרחב וקטורי מעל שדה  , ויהי   תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי   עבור כל  . לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות.

נסמן את מחלקת השקילות של וקטור   להיות  , ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן  . ניתן להגדיר באופן טבעי על   מבנה של מרחב וקטורי מעל  , על ידי פעולת חיבור   וכפל בסקלר  .

ניתן להראות כי אם   מרחב וקטורי מממד סופי, אז  .

דוגמאות למרחב מנהעריכה

  • אם נתבונן במרחב הווקטורי   ובתת המרחב   (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל   הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב- , ומרחב זה איזומורפי באופן טבעי למרחב  .
  • באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי   ובתת מרחב שלו   לאיזה   המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה   איזומורפי באופן טבעי למרחב  .
  • באופן עוד יותר כללי, אם  , אז מרחב המנה   איזומורפי באופן טבעי למרחב  .
  • יהי   מרחב מידה. נקבע   כלשהו, ויהי   אוסף הפונקציות המדידות מהצורה   או  , המקיימות  . מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי   מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא סמי-נורמה של  . כדי להפוך את   לנורמה, התכונה החסרה היא כי  . כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב   (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב- ), ונקבל כי על המרחב  , מתקבלת על ידי   נורמה טבעית.

קישורים חיצונייםעריכה