משוואת האייקונל

בפיזיקה, משוואת האייקונל (באנגלית: Eikonal equation) היא משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית חלקית מסדר ראשון אשר מופיעה בבעיות הקשורות להתקדמות גלים בתווך לא הומוגני. היא מבוססת על קירוב מתמטי של תדירויות גבוהות מספיק $\omega \rightarrow \infty$, המכונה "קירוב האייקונל", המאפשר לתאר התקדמות גלים בהתאם לתפיסה, שמקורה באופטיקה גאומטרית, של קרניים הניצבות לחזיתות הגלים.

משוואת האייקונל הקלאסית של האופטיקה הגאומטרית היא משוואה דיפרנציאלית מהצורה:

$|\nabla u(x)|=n(x)$

כאשר $u(x)$ היא הפונקציה הלא ידועה, הקשורה לפאזה של הגל, $\nabla$ מסמן את הגרדיאנט, $|\cdot |$ היא הנורמה האוקלידית, ו-$n(x)$ היא פונקציה חיובית ונתונה של המקום הקשורה למקדם השבירה של התווך בכל נקודה במרחב.

מכיוון שמרבית התופעות האלקטרומגנטיות הטבעיות והמלאכותיות מערבות תדירויות גבוהות מאוד, או באופן שקול אורכי גל קצרים בהשוואה לאורך ההשתנות האופייני של מקדם השבירה של התווך, הדבר הופך את קירוב האייקונל למתאים באופן טבעי לשימוש בבעיות הקשורות במשוואות מקסוול וקירוב WKB. בכך משוואת האייקונל מספקת גשר בין האופטיקה הפיזיקלית המתייחסת לאור כאל גלים אלקטרומגנטיים (המפגינים תכונות גליות כמו עקיפה) לבין האופטיקה הגאומטרית המתייחסת אליו כאל משפחה של קרני אור ישרות.

מקור המונח

במונח "אייקונל" נעשה שימוש לראשונה בהקשר של אופטיקה גאומטרית בידי היינריך ברונס (Heinrich Bruns). מקור המונח במילה היוונית אייקון, שפירושה בבואה או דמות. עם זאת, המשוואה עצמה הופיעה מוקדם יותר בעבודתו המרכזית של ויליאם רואן המילטון על אופטיקה גאומטרית.

פיתוח המשוואה

כדי לתאר התקדמות גל בתווך לא הומוגני, נתחיל ממשוואת הגלים, אלא שהפעם מהירות הגל $c$ היא בעצמה פונקציה של המקום:

$\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (t,{\vec {r}})=c({\vec {r}})^{2}\ \nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})$

מכיוון שאנו שואפים לתאר את התקדמות חזיתות הגלים בתווך שתכונותיו משתנות במרחב אך קבועות בזמן, הגיוני לבצע הפרדת משתנים ולתאר את פונקציית הגל $\psi (t,{\vec {r}})$ כמכפלה של חלק מרחבי $\Psi ({\vec {r}})$ וחלק זמני $e^{-i\omega t}$, ולשאול כיצד משתנה $\Psi$ לפי המקום. תוצאת הצבת $\psi (t,{\vec {r}})=\Psi ({\vec {r}})e^{-i\omega t}$ במשוואת הגלים נותנת את "משוואת הלמהולץ", שבמקרה הדו-ממדי היא:

${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}=-k^{2}({\mathbf {r}})\Psi$

כאשר $k({\mathbf {r}})={\frac {\omega }{c({\mathbf {r}})}}$ הוא מספר הגל המקומי. נניח כעת ש-$\Psi ({\vec {r}})$ היא מהצורה $e^{i\omega \phi ({\mathbf {r}})}$ כאשר $\phi$ פונקציה שרירותית בעלת יחידות של זמן, כך שהמכפלה $\omega \phi$ מייצגת את הפאזה של הגל בתלות במקום. נציב זאת במשוואת הלמהולץ ונקבל (לאחר שימוש בכלל לייבניץ וחלוקת שני האגפים ב-$-\omega ^{2}\Psi$) שהפונקציה $\phi ({\mathbf {r}})$ מקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית:

$({\frac {\partial \phi }{\partial x}})^{2}+({\frac {\partial \phi }{\partial y}})^{2}-{\frac {i}{\omega }}({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}})={\frac {1}{c^{2}({\mathbf {r}})}}$

בגבול $\omega \rightarrow \infty$ ותחת הנחת התנהגות "סבירה" של הפונקציה $\phi$, איבר הנגזרות השניות במשוואה האחרונה מתאפס, ולפיכך ניתן לכתוב מחדש את המשוואה כך:

$({\frac {\partial \phi }{\partial x}})^{2}+({\frac {\partial \phi }{\partial y}})^{2}={\frac {1}{c^{2}({\mathbf {r}})}}$

זוהי משוואת האייקונל והקירוב שבו השתמשנו מכונה "קירוב האייקונל".

מגבלות קירוב האייקונל

את משוואת האייקונל קיבלנו מתוך ההנחה ש-$\omega \rightarrow \infty$, שאפשרה להתעלם מאיבר הנגזרות השניות במשוואה הדיפרנציאלית שמקיימת הפונקציה $\phi$. אבל בכל מערכת פיזיקלית תדירות הגל $\omega$ סופית, ולכן חשוב להבין מהן מגבלות קירוב האייקונל.

גם כאשר התדירות $\omega$ סופית, אפשר להצדיק את המשוואה האייקונלית אם איבר הנגזרות השניות באגף שמאל זניח ביחס לאיברים האחרים, כלומר כאשר מתקיים:

${\frac {1}{\omega }}|{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}|<<{\frac {1}{c^{2}({\mathbf {r}})}}$

הסכום בתוך הערך המוחלט הוא הלפלסיאן של הפונקציה $\phi$, שניתן גם לרשמו כדיברגנץ של הגרדיאנט של $\phi$. כלומר, תנאי האייקונל הוא:

${\frac {1}{\omega }}|\nabla \cdot ({\vec {\nabla }}\phi )|<<{\frac {1}{c^{2}({\mathbf {r}})}}$

מכיוון ש-$\omega \phi$ הוא הפאזה של הגל, גרדיאנט הפונקציה הוא פשוט וקטור הגל מחולק בתדירות הזוויתית $\omega$, ולכן התנאי הוא:

${\frac {1}{\omega }}|\nabla \cdot {\frac {{\vec {k}}(r)}{\omega }}|<<{\frac {1}{c^{2}({\mathbf {r}})}}$

מכך ש - ${\vec {k}}(r)={\mathbf {k(r)}}{\hat {k}}$, ומזהות מסוימת לגבי הדיברגנץ של מכפלת פונקציה סקלרית (שבמקרה זה היא מספר הגל) בפונקציה וקטורית (במקרה זה הווקטור הוא וקטור היחידה ${\hat {k}}$ בכיוון וקטור הגל), עולה שניתן לפרק את הדיברגנץ של וקטור הגל לשני מחוברים, האחד נובע משינוי הגודל של וקטור הגל (שנובע בעצם מהשינוי של מהירות הגל בתווך) והשני נובע משינוי הכיוון של וקטור הגל. כלומר התנאי הדרוש הוא:

${\frac {1}{\omega ^{2}}}|{\vec {\nabla }}{\mathbf {k(r)}}\cdot {\hat {k}}+{\mathbf {k(r)}}(\nabla \cdot {\hat {k}})|<<{\frac {1}{c^{2}({\mathbf {r}})}}$

כדי שהתנאי יתקיים, הסכום בתוך הערך המוחלט צריכים להיות קטנים בהרבה מ-${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}(r)}}$. שני האיברים בסכום בלתי תלויים זה בזה, ולכן נדרוש שכל אחד מהם בנפרד יהיה קטן בהרבה מאגף ימין. מכיוון שמספר הגל קשורות למהירות הגל המקומית בקשר ${\mathbf {k(r)}}={\frac {\omega }{c(r)}}$, ניתן לפרש את התנאים על כל אחד מהאיברים בסכום באופן הבא:

• התנאי $|{\vec {\nabla }}{\mathbf {k(r)}}\cdot {\hat {k}}|<<{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}({\mathbf {r}})}}$ שקול מתמטית לתנאי $|{\vec {\nabla }}c(r)\cdot {\hat {k}}|<<\omega$, והוא קובע למעשה שהטווח האופייני של השינויים במהירות הגל צריך להיות גדול בהרבה מאורך הגל באזור הנידון.