משוואת הגלים

משוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני שמתארת באופן כללי את התנהגותם של גלים שונים.

משוואת הגלים היא הדוגמה הפשוטה ביותר למשוואה דיפרנציאלית היפרבולית.

הצורה הכללית של המשוואה היא:

$\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (t,{\vec {r}})=v^{2}\ \nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})$

זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה הסימונים:

• ${\vec {r}}$ מייצג את המיקום במרחב.
• $\ t$ מייצג זמן.
• הפונקציה $\ \psi (t,{\vec {r}})$ היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.
• $\ v$ מייצג מהירות התקדמות הגל.
• $\ \nabla ^{2}$ הוא האופרטור לפלסיאן.

משוואה זו אינה משוואת הגלים היחידה, אלא רק הנפוצה והפשוטה ביותר. משוואה זו מתארת גלים עם יחס נפיצה ליניארי, וללא איבודי אנרגיה. דוגמאות נפוצות לגלים כאלה הם גלים אלקטרומגנטיים בריק או תנודות של מיתר מתוח. לגלים אחרים, כגון גלי קול, גלי מים, או תנודות בסריג (כמו פונונים).

פיתוח

משוואת הגלים באה לתאר הפרעה שמתקדמת בזמן ובמרחב במהירות קבועה, ושומרת על צורתה. נניח כי הפונקציה $\psi (x,t)$ מתארת מידת ההפרעה משיווי משקל בנקודה $x$ ברגע $t$. אם נניח כי גודל מהירות הגל קבוע, ונגדיר אותה להיות $v$, אזי לאחר זמן $t$, הפונקציה המתארת את הגל ערכה $x$ כשהיא מוזזת ב-$v*t$ יחידות מהנקודה הקודמת.

אם נניח כי הגל שומר על צורתו (כלומר, מידת הסטייה משיווי משקל נשארת קבועה) נוכל לשים לב לקיום הקשר $\psi (x,t)=\psi (x\pm vt)$. קשר זה נובע ממשפטי הזזת הצירים.

נגזור את $\psi (x,t)$ על פי קואורדינטת המיקום $x$:

${\frac {\partial \psi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial (x\pm vt)}}{\frac {\partial (x\pm vt)}{\partial x}}={\frac {d\psi }{d(x\pm vt)}}{}$

על ידי גזירה פעם נוספת של אותו הביטוי נקבל:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac {d^{2}\psi }{d(x\pm vt)^{2}}}$

כעת נגזור את $\psi (x,t)$ על פי הזמן:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\partial \psi }{\partial (x\pm vt)}}{\frac {\partial (x\pm vt)}{\partial t}}=\pm v{\frac {d\psi }{d(x\pm vt)}}$

ופעם נוספת לפי הזמן:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=v^{2}{\frac {d^{2}\psi }{d(x\pm vt)^{2}}}$

ניתן לראות בבירור כי מתקיים ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$.

משוואת הגלים החד-ממדית

עבור גל חד ממדי המשוואה היא:

$\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)$

כאשר $\ x$ הוא המקום במרחב החד ממדי.

פתרון כללי של המשוואה נתגלה על ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר והוא:

$\ \psi (x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)$

כאשר F,E הן פונקציות כלשהן. F מייצג גל שנע עם כיוון ציר ה-x ואילו E מייצג גל שנע בכיוון ההפוך. על ידי חישוב פשוט ניתן לראות שפתרון זה תקף לכל זוג פונקציות F,E (גזירות פעמיים ברציפות), וגם הכיוון ההפוך נכון: כל פתרון של משוואת הגלים ניתן להצגה בצורה זו.

פתרון שהוא גל מחזורי ניתן להצגה באמצעות הפתרונות הבסיסיים:

$\ \psi _{k}(x,t)=a_{k}e^{i(\omega t-kx)}+b_{k}e^{i(\omega t+kx)}$

כאשר $\ k$ הוא מספר גל כלשהו (ביחידות של אחד חלקי מרחק) והתדירות הזוויתית היא $\ \omega =vk$ .

פתרון בשיטת פורייה

הפתרון הבסיסי של משוואת הגלים התלת ממדית שנקרא "גל מישורי" הוא

$\ \psi _{\vec {k}}(t,{\vec {r}})=A({\vec {k}})e^{i\left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)}$

אופן הכתיבה הזה נקרא פאזור, ויש לו שתי דרגות חופש לכל תדר - בתוך המקדם A שהוא מספר מרוכב. אפשר לפתור בצורה דומה בעזרת טורים של סינוס וקוסינוס, שם לקוסינוס ולסינוס מקדם ממשי עצמאי כך שנשמרות שתי דרגות החופש, או בעזרת טורים של סינוסים עם פאזות, שם המקדם מהווה דרגת חופש אחת והשנייה היא הפאזה (דוגמה של פתרון כזה ראו בערך מתנד הרמוני).

כאשר:

• הגודל $\ \omega =2\pi f$ הוא התדירות הזוויתית של הגל.
• הווקטור ${\vec {k}}$ הוא וקטור הגל, כיוונו הוא כיוון ההתקדמות של הגל וגודלו עומד ביחס הפוך לאורך הגל, $|{\vec {k}}|=k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ .
• הקשר בין התדירות הזוויתית לווקטור הגל במקרה זה הוא $\omega =vk\!\,$, במקרה הכללי (כמו בתווך דיאלקטרי, בו מהירות התקדמות הגל v יכולה להיות תלויה באורך הגל) הקשר הוא לא-ליניארי והפונקציה $\ \omega (k)$ נקראת יחס נפיצה.
• הפתרון הכללי ביותר של משוואת הגלים הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים עם יחס הנפיצה $\omega =vk\!\,$, כאשר פונקציית המשרעת $\ A({\vec {k}})$ נקבעת על פי תנאי ההתחלה של הבעיה. אם אין תנאי שפה שמגבילים את הערכים שווקטור הגל k יכול לקבל, אזי הפתרון הכללי נתון על ידי התמרת פורייה של פונקציית המשרעת:

  $\ \psi (t,{\vec {r}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int _{{\vec {k}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\psi _{\vec {k}}(t,{\vec {r}})\ d^{3}k}$

עבור גלים לא אידיאליים יש להוסיף למשוואת הגלים תיקונים המייצגים חיכוך, כוחות מאלצים ועוד.

פתרון על ידי נוסחת ד'אלמבר

על ידי מעבר לצורה הקנונית של משוואת הגלים והצבת תנאי התחלה, ניתן לקבל פתרון אנליטי עבור בעיית הגלים החד ממדית (בקטע אינסופי) הנתונה בצורה הבאה:

$\ u_{tt}-c^{2}u_{xx}=G(x,t)$

$\ u(x,0)=f(x),u_{t}(x,0)=g(x)$

נוסחת ד'אלמבר למשוואה הומוגנית

$u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$

נוסחת ד'אלמבר למשוואה אי הומוגנית

$u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}G(s,\tau )dsd\tau$

ראו גם

• משוואת הגל האלקטרומגנטי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משוואת הגלים בוויקישיתוף

• משוואת הגלים, באתר MathWorld (באנגלית)