פונקציה תת-ליניארית
באלגברה ליניארית ובאנליזה פונקציונלית, פונקציה תת-ליניארית (נקראת גם פונקציונל תת-ליניארי) היא פונקציונל על מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים, אשר מקיים תת-חיבוריות והומוגניות חיובית. פונקציות מסוג זה הן גרסה מוחלשת של נורמה ונורמה-למחצה מחד ופונקציה ליניארית מאידך.
שימושם העיקרי של פונקציונלים תת-ליניאריים בא לידי ביטוי במשפט האן-בנך. כמו כן ניתן להשתמש בפונקציונלים אלה במקרים שבהם מרחב כלשהו אינו נורמבילי, כלומר שלא ניתן להגדיר עליו נורמה.
הגדרה מתמטית
עריכהעבור מרחב וקטורי מעל שדה שהוא שדה הממשיים או המרוכבים, הפונקציונל יקרא פונקציונל תת-ליניארי אם ורק אם הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:[1]
- תת-חיבוריות (Subadditivity): לכל שני וקטורים מתקיים
- הומוגניות חיובית (Positive homogeneity): לכל וקטור במרחב ולכל סקלר אי-שלילי מתקיים .
תנאי התת-חיבוריות הוא למעשה קיום אי-שוויון המשולש של הפונקציונל.
תכונות
עריכהערך בראשית והכפלה בסקלר שלילי
עריכהמתוך תכונת ההומוגניות החיובית ניתן להסיק כי כל פונקציונל תת-ליניארי מתאפס בראשית, כלומר , זאת על ידי הכפלת כל איבר כלשהו ב- בסקלר .
מאחר שתכונת ההומוגניות החיובית אינה נוגעת להכפלה בסקלר שלילי, לא ניתן להסיק כי משתווה ל- עבור כלשהי כפי שתכונה זו מתקיימת עבור נורמה ונורמה-למחצה. לעומת זאת, מתכונת התת-חיבוריות ניתן להסיק כי:
כלומר, ניתן להסיק שלפחות אחד מ- ו- הוא חיובי.
אריתמטיקה
עריכהעבור פונקציונל תת-ליניארי מעל וסקלר אי-שלילי הפונקציונל הוא תת-ליניארי. הדבר איננו מתקיים עבור .
כמו כן, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים מעל הפונקציונל אף הוא תת-ליניארי. הדבר איננו מתקיים בהכרח עבור .
בנוסף, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים מעל הפונקציונל אף הוא תת-ליניארי. כלומר לכל :
קמירות
עריכהכל פונקציה תת-ליניארית היא בהכרח פונקציה קמורה. ניתן להוכיח זאת מתוך ההגדרה:
עבור ו- מתקיים:
כאשר אי השוויון משמאל מתקיים מתכונת התת-חיבוריות והשוויון מימין מתקיים בגלל הומוגניות חיובית.
כל פונקציה שהיא תת-חיבורית (תנאי 1 בהגדרה), קמורה ומקיימת היא בהכרח תת-ליניארית.
הוכחה
עריכהלכל ולכל כלשהו ניתן להסיק מתכונת הקמירות כי:
מכיוון ש- ניתן להסיק באותו אופן כי .
כעת לפי תכונת התת-חיבוריות:
מהעברת אגפים נקבל כי .
מכיוון וגם וגם בהכרח ועל כן מתקיימת הומגוניות עבור . עבור מתקיים כי ולכן:
משמע גם עבור . מכל זה נגזרת הומגוניות-חיובית עבור . מאחר ש- תת-חיבורית והומוגנית חיובית היא בהכרח תת-ליניארית. מש"ל.
רציפות
עריכהאם מרחב התחום של פונקציה תת-ליניארית הוא מרחב וקטורי טופולוגי (כלומר שהוא מצויד בטופולוגיה שעבורה פעולות החיבור והכפל בסקלר רציפות), ניתן לקבוע האם רציפה על-פי הטופולוגיה של המרחב.
ניתן להוכיח כי אם רציפה בראשית אז היא רציפה בכל המרחב, ויתרה מכך היא גם רציפה במידה שווה (כפי שתכונה זו מוגדרת לחבורות טופולוגיות, ובפרט למרחבים וקטוריים טופולוגיים). בפרט, כל פונקציונל תת-ליניארי רציף הוא רציף במידה שווה.
הוכחה
עריכהעבור קיימת סביב פתוחה של הראשית כך ש- לכל . ניתן להגדיר קבוצה פתוחה חדשה שאף היא סביב פתוחה של הראשית וסימטרית (כלומר לכל מתקיים )
עבור כך ש- מתקיים:
לכן . מכיוון שגם ניתן להסיק שגם לכן בסך הכל .
מתקבל כי לכל קיימת סביבה פתוחה כך שלכל עבורם מתקיים . מכל זה רציפה במידה שווה. מש"ל.
מקרים פרטיים
עריכהפונקציה ליניארית
עריכה- ערך מורחב – פונקציה ליניארית
כל פונקציה ליניארית היא גם פונקציה תת-ליניארית (מחליפים את האי-שוויון בתנאי התת-חיבוריות לשוויון).
אם מגדירים ב- את קבוצת כל הפונקציונלים התת-ליניאריים על מרחב וקטורי כלשהו, ניתן להגדיר על מרחב זה יחס סדר חלקי כך שלכל , אם ורק אם לכל (סימון זה אינו סימון מוסכם בספרות ומשמש לערך זה בלבד).
על כן, בהינתן פונקציה תת-ליניארית מעל מרחב כלשהו, התנאים הבאים שקולים:
- היא פונקציה ליניארית.
- היא פונקציה אי-זוגית. כלומר, לכל .
- היא פונקציה תת-ליניארית מינימלית תחת היחס .[2]
מעובדה זאת נגזרת משמעות נוספת והיא שבהינתן פונקציונל תת-ליניארי כלשהו מעל מרחב ניתן למצוא פונקציה ליניארית כך ש- לכל .
נורמה-למחצה
עריכה- ערך מורחב – נורמה-למחצה
עבור מרחב וקטורי מעל שדה (שהוא שדה הממשיים או המרוכבים) פונקציה תקרא נורמה-למחצה אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:
- היא תת-חיבורית.
- הומוגנית בהחלט (Absolute homogeneity). כלומר, לכל וקטור במרחב ולכל סקלר מתקיים .
כמובן שכל פונקציה הומוגנית בהחלט היא הומוגנית חיובית, לכן כל נורמה למחצה היא פונקציה תת-ליניארית.
כל נורמה למחצה היא פונקציה זוגית. כלומר, לכל . אם (שדה הממשיים), פונקציה תת-ליניארית היא נורמה למחצה אם ורק אם היא זוגית.
מכיוון שכל נורמה למחצה היא זוגית, ושלפחות אחד מ- ו- הוא חיובי, ניתן להסיק כי כל נורמה למחצה היא פונקציה חיובית. כלומר, לכל מתקיים ש- .
בהינתן פונקציה תת-ליניארית כלשהי, ניתן לבנות ממנה נורמה-למחצה כך שלכל :
נורמה למחצה זו תקרא הנורמה-למחצה המשויכת ל- .
לנורמות למחצה חשיבות רבה בבניית מרחבים וקטוריים טופולוגיים קמורים מקומית, אשר מהווים הכללה למרחבים נורמביליים.
נורמה
עריכה- ערך מורחב – נורמה (אנליזה)
תקרא נורמה אם ורק אם היא נורמה-למחצה ובנוסף מקיימת חיוביות בהחלט (positive definite). כלומר, אם בהכרח . כל נורמה היא נורמה למחצה, אך ההפך אינו בהכרח נכון.
לנורמות חשיבות מכרעת באנליזה ובפיזיקה והן מהוות הבסיס למרחבי הילברט ומרחבי בנך.
דוגמאות
עריכה- כל נורמה ונורמה-למחצה היא פונקציונל תת-ליניארי.
- פונקציית האפס היא פונקציונל תת-ליניארי.
- כל פונקציונל ליניארי על שדה מעל הממשיים או המרוכבים הוא פונקציונל תת-ליניארי. הדבר נכון בפרט לפונקציית הזהות מ- לעצמו.
- הפונקציה מהצורה כאשר היא פונקציונל תת-ליניארי.
הערות שוליים
עריכה- ^ Worawit Tepsan, Functional Analysis, Math 7320, University of Houston, 2016-11-8 (באנגלית)
- ^ Adam Bowers, Nigel J. Kalton, An introductory course in functional analysis, New York, NY [u.a.]: Springer, 2014, An Introductory Course in Functional Analysis, ISBN 978-1-4939-1945-1