משפט טיכונוף

בטופולוגיה, משפט טיכונוב קובע שאם $\left\{(X_{i},\tau _{i})\right\}_{i\in I}$ משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה $\prod _{i\in I}X_{i}$ קומפקטי. המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר בטופולוגיה כללית, אם לא החשוב שבהם, והוכיח אותו אנדריי טיכונוב בתחילת שנות ה-30 של המאה ה-20.

כאשר מדובר במכפלה של מספר סופי של מרחבים, ההוכחה נובעת בקלות יחסית מן ההגדרה של טופולוגיית המכפלה. אלא שהמשפט תקף גם עבור מכפלות מכל גודל (ואפילו שאינן בנות מנייה) עם טופולוגיית המכפלה (המכונה גם טופולוגיית טיכונוב). משפט זה מספק גם צידוק משמעותי להעדפת טופולוגיית המכפלה על פני טופולוגיית התיבות.

מלבד היישומים של המשפט בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, משפט טיכונוב מוכר בתורת הקבוצות האקסיומטית כניסוח שקול לאקסיומת הבחירה הקובעת שאם כל הקבוצות במשפחה $\left\{X_{i}\right\}_{i\in I}$ אינן ריקות אז גם קבוצת המכפלה אינה ריקה. הגרסה המוחלשת של המשפט, המתייחסת רק לקומפקטיות של מכפלת מרחבי האוסדורף קומפקטיים, אינה גוררת את אקסיומת הבחירה. עם זאת, גם הגרסה המוחלשת אינה ניתנת להוכחה במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF, ללא אקסיומת הבחירה).

הוכחת משפט טיכונוב

ישנן מספר הוכחות למשפט טיכונוב.

1. בעזרת משפט אלכסנדר לתת בסיסים: לטופולוגיית המכפלה $\prod _{i\in I}X_{i}$ יש תת-בסיס טבעי שהוא $B=\bigcup _{i\in I}B_{i}$ כאשר $B_{i}=\left\{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}:U_{i}\in \tau _{i}\right\}$. לפי משפט אלכסנדר, כדי להוכיח קומפקטיות מספיק להתבונן בכיסוי ${\mathcal {U}}$ של מרחב המכפלה על ידי קבוצות מ-$B$. בלי הגבלת הכלליות, המרחב עצמו אינו שייך ל-${\mathcal {U}}$. עבור $i\in I$ מסוים, נסתכל על כל הקבוצות מהצורה $\left\{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}\right\}$ שמשתתפות בכיסוי הנתון. אם ה-$U_{i}$ האלה מכסים את $X_{i}$ אז יש מספר סופי מהם שמכסה את $X_{i}$ בגלל הקומפקטיות שלו, ולכן יש גם מספר סופי של $\left\{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}\right\}$ שמכסה את כל מרחב המכפלה וסיימנו. נניח בשלילה כי לכל $i\in I$ הקבוצות מהכיסוי שמהצורה $\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}$ מקיימות כי ה $U_{i}$ אינן מכסים את $X_{i}$. מאקסיומת הבחירה ניתן לבחור לכל $i\in I$ איבר $x_{i}\in X_{i}$ שאינו ב-$U_{i}$ הנ"ל. טענה: $(x_{i})$ אינו מכוסה על ידי הכיסוי (וזו סתירה!). הוכחה: אחרת קיימת קבוצה מהצורה $\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}$ שהוא שייך אליה אבל לפי הבחירה $x_{i}\not \in U_{i}$.
2. בעזרת שקילות להתכנסות על מסננים: יהא $F$ על מסנן של $\prod _{i\in I}X_{i}$ אזי $\{P_{i}(A):A\in F\}$ הוא על מסנן של $X_{i}$ (כאשר $P_{i}$ היא ההטלה על רכיב $i$). ולכן קיים לו גבול שנסמנו $a_{i}$. כעת, נראה כי $(a_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}$ הוא גבול של $F$ וסיימנו. אכן כל סביבה של $(a_{i})$ מכילה קבוצה פתוחה בסיסית $\prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}$ עבור $J$ קבוצה סופית. ולכן לכל $j\in J$ קיימת $A_{j}\in F$ כך ש-$P_{j}(A_{j})\subseteq U_{j}$ ואז $A=\bigcap _{j\in J}A_{j}\in F$ (חיתוך סופי) מקיימת $A\subseteq \prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}$.
3. הוכחה בעזרת חיתוך של קבוצות סגורות: יהי ${\mathcal {F}}$ אוסף של קבוצות סגורות שכל חיתוך סופי מתוכו אינו ריק. נראה כי החיתוך של כולן אינו ריק. לפי הלמה של צורן קיימת ${\mathcal {H}}$ מקסימלית (ביחס להכלה) שמכילה את ${\mathcal {F}}$ ומקיימת שכל חיתוך סופי של קבוצות מ-${\mathcal {H}}$ לא ריק ומניחים בשלילה כי $\bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}\neq \emptyset$. כיוון ש-${\mathcal {H}}$ מקסימלית אזי כל חיתוך סופי של קבוצות מ-${\mathcal {H}}$ גם הוא ב-${\mathcal {H}}$ (אחרת נוכל להוסיף את החיתוך ל-${\mathcal {H}}$). ומכאן שכל קבוצה $A$ שנחתכת עם כל איבר ב-${\mathcal {H}}$ גם היא ב-${\mathcal {H}}$ (אחרת נוכל להוסיף אותה ל-${\mathcal {H}}$). כעת, לכל $i\in I$ הקבוצה $\{P_{i}(H):H\in {\mathcal {H}}\}$ מקיימת כי כל חיתוך סופי של קבוצות ממנה לא ריק ולכן זה נכון גם עבור $\left\{{\overline {P_{i}(H)}}:H\in {\mathcal {H}}\right\}$ ולכן בגלל קומפקטיות של $X_{i}$ קיים $a_{i}\in \bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {P_{i}(H)}}$. נסיים בכך שנראה ש- $(a_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}$ נמצא ב-$\bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}$. לשם כך תהא סביבה פתוחה בסיסית $O=\prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}=\bigcap _{j\in J}P_{j}^{-1}(U_{j})$ (עבור $J$ קבוצה סופית) של $(a_{i})$ ויהא $j\in J$ ו-$H\in {\mathcal {H}}$. אזי מתקיים כי $U_{j}\cap P_{j}(H)\neq \emptyset$ (בגלל ש-$a_{j}\in {\overline {P_{j}(H)}}$ ו-$a_{j}\in U_{j}$ סביבה פתוחה שלה ב-$X_{j}$) ולכן $P_{j}^{-1}(U_{j})\cap H\neq \emptyset$. לכן לכל $H\in {\mathcal {H}}$ מתקיים כי $P_{j}^{-1}(U_{j})\cap H\neq \emptyset$ ולכן $P_{j}^{-1}(U_{j})\in {\mathcal {H}}$ (בגלל המקסימליות של ${\mathcal {H}}$ ). ומכאן נקבל כי $O=\bigcap _{j\in J}P_{j}^{-1}(U_{j})\in {\mathcal {H}}$ (בגלל המקסימליות של ${\mathcal {H}}$ וזהו חיתוך סופי של קבוצות משם) ולכן מהגדרת ${\mathcal {H}}$ נקבל כי לכל $H\in {\mathcal {H}}$ מתקיים $O\cap H\neq \emptyset$ מה שאומר כי $(a_{i})\in {\overline {H}}$ ולכן גם בחיתוך של כולם $(a_{i})\in \bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}$.

משפט אלכסנדר לתת בסיסים

יהא $X$ מרחב טופולוגי עם תת בסיס $B$. אם לכל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות מ-$B$ יש תת-כיסוי סופי, אז $X$ קומפקטי.

הוכחה: נניח בשלילה כי $X$ אינו קומפקטי אזי יש לו כיסוי שאין לו תת-כיסוי סופי. לפי הלמה של צורן נוכל לבחור כיסוי מקסימלי (ביחס להכלה) $C$ שאין לו תת-כיסוי סופי, בה"כ $C$ הוא אוסף של קבוצות פתוחות בסיסיות. כלומר לכל קבוצה פתוחה $V$ שלא נמצאת ב-$C$ מתקיים כי לכיסוי $C\cup \{V\}$ יש תת-כיסוי סופי. מהגדרת $C$ ולפי הנחת המשפט מתקיים כי $C\cap B$ אינו כיסוי של המרחב (אחרת היה לו תת-כיסוי סופי לפי הנתון, בסתירה להגדרת $C$) לכן קיים $x\in X$ שאינו מכוסה על ידי אף אחת מהקבוצות $C\cap B$. כיוון ש-$C$ כיסוי קיימת קבוצה בסיסית $U=\bigcap _{i=1}^{n}O_{i}\subseteq V\in C$ (כאשר $O_{i}\in B$) כך ש-$x\in U\subseteq V$. כיוון שאף קבוצה ב-$B\cap C$ אינה מכסה את $x$ נקבל כי $O_{i}\not \in C$ לכל $i$. מהמקסימליות של $C$ נקבל כי לכיסוי $C\cup \{O_{i}\}$ יש תת-כיסוי סופי. נסמן את תת-הכיסוי הסופי הזה ללא הקבוצה $O_{i}$ ב-$C_{i}$, נגדיר $C_{F}=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}$ ונקבל כי $C_{F}\cup \{O_{i}\}$ הוא כיסוי סופי לכל $i$ ולכן גם $C_{F}\cup \left\{\bigcap _{i=1}^{n}O_{i}\right\}$ כיסוי סופי ולכן גם $C_{F}\cup \{V\}$ כיסוי סופי. אבל כיסוי סופי זה מוכל ב-$C$ ולכן הוא תת-כיסוי סופי של $C$ בסתירה להגדרה $C$.

שקילות לאקסיומת הבחירה

במסגרת אקסיומות ZF משפט טיכונוב שקול לאקסיומת הבחירה. כלומר מספיק להניח רק אחד מהם כדי להוכיח את השני. נניח שמשפט טיכונוב נכון. תהי $\left\{X_{i}\right\}_{i\in I}$ משפחה של קבוצות לא ריקות, ונוכיח כי המכפלה $\prod _{i\in I}X_{i}$ אינה ריקה.

לכל $i\in I$ נגדיר את הקבוצה $Y_{i}$ להיות האיחוד הזר $Y_{i}=X_{i}\sqcup \{i\}$ (פורמלית, ניתן להגדיר $Y_{i}=\left(\{0\}\times X_{i}\right)\cup \left(\{1\}\times \{i\}\right)$). על $Y_{i}$ נגדיר מבנה של מרחב טופולוגי, שבו אוסף הקבוצות הפתוחות הוא $\{\phi ,Y_{i},\{i\}\}$. כיוון שב-$Y_{i}$ יש מספר סופי של קבוצות פתוחות, $Y_{i}$ מרחב קומפקטי. נגדיר מרחב טופולוגי $Y=\prod _{i\in I}Y_{i}$ לפי טופולוגיית המכפלה. לכל $i\in I$ נגדיר $U_{i}=\prod _{j\neq i}Y_{j}\times \{i\}$, שהיא קבוצה פתוחה ב-$Y$.

נניח בשלילה כי האוסף $\{U_{i}\}_{i\in I}$ מכסה את $Y$. לפי משפט טיכונוב, קיים תת-כיסוי סופי $\left\{U_{i_{j}}\right\}_{j=1}^{n}$. כיוון שכל הקבוצות $X_{i}$ אינן ריקות, ניתן לבחור לכל $1\leq j\leq n$ איבר $x_{i_{j}}\in X_{i_{j}}$. נשים לב כי בחרנו מספר סופי של איברים ולכן אין צורך להשתמש באקסיומת הבחירה. כעת נגדיר איבר $y=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ לפי $y_{i}=\left\{{\begin{matrix}x_{i}&{\mbox{if }}i\in \left\{i_{j}\right\}_{j=1}^{n}\\i&{\mbox{if }}i\notin \left\{i_{j}\right\}_{j=1}^{n}\end{matrix}}\right.$, כאשר כאן לא נעשתה שום בחירה. בבירור $y\notin U_{i_{j}}$ לכל $1\leq j\leq n$ ולכן $y\notin \bigcup _{j=1}^{n}U_{i_{j}}$, סתירה לכך ש-$\left\{U_{i_{j}}\right\}_{j=1}^{n}$ כיסוי של $Y$. מכאן שהנחת השלילה, כי $\{U_{i}\}_{i\in I}$ מכסה את $Y$, אינה נכונה. לכן קיים איבר $\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in Y\setminus \bigcup _{i\in I}U_{i}$. מכאן שלכל $i\in I$ מתקיים כי $x_{i}\neq i$ ולכן $x_{i}\in X_{i}$. בכך הוכחנו שהמכפלה $\prod _{i\in I}X_{i}$ אינה ריקה, כנדרש.

ראו גם

• למת הצינור

קישורים חיצוניים

• משפט טיכונוף, באתר MathWorld (באנגלית)