משפט קיילי-המילטון

משפט קיילי-המילטון הוא משפט באלגברה ליניארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה $\ f(\lambda )=|\lambda I-A|$, כלומר, מתקיים $\ f(A)=0$. בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה. המשפט קרוי על שמם של המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם המילטון. במאמר מ-1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל $\ 2\times 2$, והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל $\ 3\times 3$; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס, ב- 1878.

המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות $\ \operatorname {M} _{n}(C)$ הם חוגי זהויות פולינומיות.

הוכחת המשפט

נסמן $f(x)=\Sigma _{k=0}^{n}C_{k}x^{k}$. ראשית ידוע כי לכל מטריצה $\ A$ מתקיים כי $A\,\mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\,A=\det(A)\,I$, ולכן עבור $C=xI-A$ מתקיים כי $f(x)I=|xI-A|I=|C|I=C\mathrm {adj} (C)=(xI-A)\mathrm {adj} (C)=xI\mathrm {adj} (C)-A\mathrm {adj} (A)$ ומכיוון שאיברי המטריצה $C$ הם פולינומים ממעלה ראשונה ולכן גם כן איברי $\mathrm {adj} (C)$ פולינומים אכן ממעלה גדולה או שווה ל-$n-1$. לכן ניתן לכתוב את $\mathrm {adj} (C)$ כפולינום על מקדמים שהם מטריצות, $\mathrm {adj} (C)=\Sigma _{k=0}^{n}B_{k}x^{k}$. מכיוון ש-$f(x)I=xI\mathrm {adj} (C)-A\mathrm {adj} (A)$ אז מתקיים כי $f(x)I=\Sigma _{k=1}^{n}C_{k}Ix^{k}$ ו- $\mathrm {adj} (C)-A\mathrm {adj} (A)=\Sigma _{k=1}^{n}B_{k-1}-AB_{k}$ ולכן על ידי השוואת מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי $C_{k}I=B_{k-1}-AB_{k}$ אז אם נכפול ב-A נקבל כי $C_{k}A^{k}=A^{k}B_{k-1}-A^{k-1}B_{k}$ ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל טור טלסקופי שמתאפס.

הוכחה עבור מטריצות לכסינות

אם מניחים שהמטריצה לכסינה, ההוכחה קלה יותר:

• הפעלת המטריצה הריבועית $f(A)$ (המטריצה המתקבלת מהצבת המטריצה המקורית A בפולינום האופייני שלה) על כל אחד מהוקטורים העצמיים של A מחזירה את הווקטור העצמי $v_{i}$ כפול סקלר מסוים $\alpha _{i}$ (זה נובע מהגדרה של וקטור עצמי).
• הסקלר הזה שווה לערך הפולינום האופייני כאשר מציבים בו את הערך העצמי $\lambda$ אליו משויך הווקטור העצמי; בכתיב מתמטי:

$f(A)\cdot v_{i}=A^{n}\cdot v_{i}+c_{n-1}A^{n-1}\cdot v_{i}+\cdots +c_{1}A\cdot v_{i}+c_{0}I_{n}\cdot v_{i}=\lambda ^{n}v_{i}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}v_{i}+\cdots +c_{1}\lambda v_{i}+c_{0}v_{i}=f(\lambda )v_{i}$

• מהגדרת הפולינום האופייני נובע שכל ערך עצמי של המטריצה המקורית הוא שורש שלו; לפיכך המטריצה $f(A)$ שולחת את כל אחד מהווקטורים העצמיים של A לאפס ($\alpha _{i}=0$ לכל i).
• מכיוון ש-A לכסינה, אוסף הווקטורים העצמיים שלה, ${v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$, הוא בסיס למרחב עליו היא פועלת. מכיוון ששתי מטריצות הפועלות באופן זהה על כל אחד מוקטורי בסיס של מרחב ליניארי הן בהכרח זהות, מקבלים ש-$f(A)$ שווה זהותית למטריצת האפס.

הוכחה באמצעות צורת ז'ורדן

נציג הוכחה נוספת המשתמשת בצורת ז'ורדן מעל הסגור האלגברי של שדה הבסיס.

ראשית, נשים לב שאם A,B מטריצות דומות ו-A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כך גם B. הוכחה: למטריצות דומות אותו פולינום אופייני. כיוון ש-A,B דומות, יש D כך ש-$B=D^{-1}AD$. הנחנו ש-A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר אם הפולינום הוא $a_{0}+a_{1}x+...a_{n}x^{n}$ אז $a_{0}+a_{1}A+...a_{n}A^{n}=0$. נכפיל מימין ב-D^-1 ומשמאל ב-D ונקבל $D^{-1}(a_{0}+a_{1}A+...a_{n}A^{n})D=0$. לאחר פתיחת סוגריים ושימוש בכך ש-$D^{-1}A^{k}D=B^{k}$ לכל k (קל להוכיח באינדוקציה), מקבלים $a_{0}+a_{1}B+...a_{n}B^{n}=0$ כרצוי. לכן, מספיק להוכיח שלכל מטריצה, יש מטריצה שדומה לה ומקיימת את משפט קיילי המילטון.

ראשית נניח שהמטריצה A היא בלוק ז'ורדן יחיד, שעל האלכסון שלו הערכים $\lambda$. אז הפולינום האופייני הוא $(x-\lambda )^{n}$. הצבת המטריצה נותנת $(A-\lambda I)^{n}$. נשים לב ש-$A-\lambda I$ היא מטריצה משולשית עם אפסים על האלכסון, לכן העלתה בחזקת n מאפסת אותה.

כעת נניח ש-A מטריצה כללית. הפולינום האופייני נשמר תחת הרחבת שדות, לכן ניתן להניח שהשדה מעליו מוגדרת המטריצה סגור אלגברית, כלומר היא דומה לצורת ז'ורדן. מהמשפט בתחילת ההוכחה, ניתן להניח שהיא כבר נתונה בצורת ז'ורדן. הפולינום האופייני הוא מכפלת ביטויים מהצורה $(x-\lambda _{i})^{n_{i}}$ כאשר $\lambda _{i}$ הוא הערך בבלוק ה-i ו-$n_{i}$ הוא גודל הבלוק. כמו בפסקה הקודמת, הצבת המטריצה נותנת אפסים בשורות שבהן מופיע הבלוק הזה. לכן הצבת המטריצה בפולינום האופייני נותנת מכפלת מטריצות שלכל אחת מהן שורות אפסים, באופן ששורות האפסים מכסות את כל השורות - ומכפלתן היא מטריצת האפס כרצוי.

מקורות

• אלגברה א', חלק שלישי, 259-262, ש. עמיצור
• אלגברה א', חלק ראשון, 167, ש. עמיצור
• היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות

קישורים חיצוניים

• משפט קיילי-המילטון, באתר MathWorld (באנגלית)