משפט קיילי-המילטון

משפט קיילי-המילטון הוא משפט באלגברה ליניארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה , כלומר, מתקיים . בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה. המשפט קרוי על שמם של המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם המילטון. במאמר מ-1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל , והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל ; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס, ב- 1878.

המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות הם חוגי זהויות פולינומיות.

הוכחת המשפטעריכה

נסמן  . ראשית ידוע כי לכל מטריצה   מתקיים כי  , ולכן עבור   מתקיים כי   ומכיוון שאיברי המטריצה   הם פולינומים ממעלה ראשונה ולכן גם כן איברי   פולינומים אכן ממעלה גדולה או שווה ל- . לכן ניתן לכתוב את   כפולינום על מקדמים שהם מטריצות,  . מכיוון ש-  אז מתקיים כי   ו-   ולכן על ידי השוואת מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי   אז אם נכפול ב-A נקבל כי   ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל טור טלסקופי שמתאפס.

הוכחה עבור מטריצות לכסינותעריכה

אם מניחים שהמטריצה לכסינה, ההוכחה קלה יותר:

  • הפעלת המטריצה הריבועית   (המטריצה המתקבלת מהצבת המטריצה המקורית A בפולינום האופייני שלה) על כל אחד מהוקטורים העצמיים של A מחזירה את הווקטור העצמי   כפול סקלר מסוים   (זה נובע מהגדרה של וקטור עצמי).
  • הסקלר הזה שווה לערך הפולינום האופייני כאשר מציבים בו את הערך העצמי   אליו משויך הווקטור העצמי; בכתיב מתמטי:
 
  • מהגדרת הפולינום האופייני נובע שכל ערך עצמי של המטריצה המקורית הוא שורש שלו; לפיכך המטריצה   שולחת את כל אחד מהווקטורים העצמיים של A לאפס (  לכל i).
  • מכיוון ש-A לכסינה, אוסף הווקטורים העצמיים שלה,  , הוא בסיס למרחב עליו היא פועלת. מכיוון ששתי מטריצות הפועלות באופן זהה על כל אחד מוקטורי בסיס של מרחב ליניארי הן בהכרח זהות, מקבלים ש-  שווה זהותית למטריצת האפס.

מקורותעריכה