גוף סיבוב

בגאומטריה של המרחב, גוף סיבוב הוא גוף הנוצר על ידי סיבוב של צורה גאומטרית מישורית סביב ישר (הנקרא ציר הסיבוב) המונח במישור הצורה. לדוגמה, אם נסובב עיגול סביב ישר העובר דרך מרכזו, נקבל כדור, ואם נסובב את העיגול סביב ישר הנמצא מחוצה לו, נקבל טורוס. לפעמים מתייחס המונח "גוף סיבוב" גם למשטח הנוצר מסיבוב עקומה סביב ישר, אך חשוב להבדיל בין השניים; בעוד שגוף סיבוב הוא צורה גאומטרית תלת-ממדית, משטח סיבוב הוא יריעה דו-ממדית, העוטפת את גוף הסיבוב. גוף הסיבוב יהיה חסום אם העקומה חסומה, אבל המונח מתייחס גם לגופים שאינם חסומים, כמו למשל, גוף לא חסום, המוגבל על ידי פרבולואיד, המתקבל מסיבוב של פרבולה סביב ציר הסימטריה שלה.

ההנפשה מתארת יצירת טורוס על ידי סיבוב עיגול (מסומן באדום) סביב ציר סיבוב העובר מחוצה לו (הציר עצמו אינו מתואר בהנפשה).

גופי סיבוב מוכרים

מספר גופי סיבוב מוכרים, והצורות הגאומטריות היוצרות אותם.

גוף הסיבוב	כדור	טורוס	ספרואיד	גליל	חרוט ישר	דו-חרוט
הצורה הגאומטרית	עיגול	עיגול	אליפסה	מלבן	משולש ישר-זווית	משולש שווה-שוקיים
מקום ציר הסיבוב	עובר דרך מרכז העיגול	עובר מחוץ לעיגול	מתלכד עם אחד מצירי האליפסה	מתלכד עם אחד הניצבים	מתלכד עם אחד הניצבים	מתלכד עם בסיס המשולש
זווית הסיבוב במעלות	180	360	180	360	360	360

נפח גוף סיבוב סביב ציר x

נפח גוף הסיבוב המתקבל על ידי סיבוב השטח הכלוא בין הפונקציה $f(x)$ לציר ה-$x$ ולישרים $x=a$ ו-$x=b$ מסביב לציר ה-$x$ הוא:
$V=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx$
ההסבר לנוסחא הוא שכדי לחשב את הנפח של גוף הסיבוב, נבנה צורה הדומה לו על ידי ערימת אוסף של דיסקות. מכך שנפחה של דיסקית נתון על ידי הנוסחא $\pi r^{2}h$ (כאשר $r$ הוא רדיוס הדיסקה, ו-$h$ הוא גובהה) ושרדיוס כל דיסקה שווה בקירוב לערך הפונקציה בסביבתו, נקבל את הנוסחא המבוקשת.

מקרה מיוחד שראוי לציון הוא של נפח גוף הסיבוב המתקבל על ידי סיבוב השטח הכלוא בין הישרים $x=a$, $x=b$ ושתי פונקציות - $f$ ו-$g$ מסביב לציר ה-$x$. נוכל לעשות זאת על ידי חיסור נפח גוף הסיבוב של הצורה הפנימית מהחיצונית ונקבל שהנוסחה היא:
$V=\pi \int _{a}^{b}\vert f^{2}(x)-g^{2}(x)\vert \,dx$

נפח גוף סיבוב סביב ציר y

נפח גוף סיבוב המתקבל על ידי סיבוב שטח מישורי של פונקציה (הכלוא על ידי הישרים $x=a\ ,\ x=b$) סביב ציר ה y נתון על ידי :

$V=2\pi \int _{a}^{b}x\cdot f(x)dx$

שיטה זו לחישוב נפח של גוף סיבוב נקראת גם "שיטת קליפות גליליות"

נפח גוף סיבוב סביב ישר כלשהו

ראה ערך משפט פאפוס.

שטח גוף סיבוב

שטחו החיצוני של גוף הסיבוב הנוצר על ידי סיבוב השטח הכלוא בין הפונקציה $f(x)$ לציר ה-$x$ ולישרים $x=a$ ו- $x=b$ מסביב לציר ה-$x$ הוא:
$A=2\pi \int _{a}^{b}|f(x)|{\sqrt {1+\left(f'(x)\right)^{2}}}\,dx$

קישורים חיצוניים

• גוף סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית)