סימפלקס אורתוסכמטי

בגאומטריה, סימפלקס אורתוסכמטי הוא סוג של סימפלקס. הוא מוגדר על ידי סדרה של צלעות $(v_{0}v_{1}),(v_{1}v_{2}),\dots ,(v_{d-1}v_{d})\,$, אשר כל שתי צלעות בה ניצבות זו לזו. סימפלקסים אלו נחקרו על ידי לודוויג שלפלי, אשר כינה אותם "אורתוסכמות" (orthoschemes) וחישב את נפחם במרחב אוקלידי, היפרבולי וכדורי. מאוחר יותר, הרולד סקוט מקדונלד קוקסטר כינה אותם "אורתוסכמות שלפלי".

תכונות

קוביה שמפורקת לשישה ארבעונים אורתוסכמטיים.

• כל הפאות מממד 2 הן משולשים ישרי זווית.
• כל הפאות המוכללות של סימפלקס אורתוסכמטי d-ממדי הן סימפלקסים אורתוסכמטיים (d-1)-ממדיים.
• נקודת האמצע של הצלע הארוכה ביותר היא מרכז הכדור החוסם.
• המקרה שבו $|v_{0}v_{1}|=|v_{1}v_{2}|=\cdots =|v_{d-1}v_{d}|$ מכונה ארבעון היל מוכלל.
• כל היפרקוביה במרחב d-ממדי ניתנת לפירוק ל-!d סימפלקסים אורתוסכמטיים חופפים. פירוק דומה לאותו מספר של אורתוסכמות תקף באופן כללי יותר לכל היפרתיבה אבל במקרה זה האורתוסכמות לא חייבות להיות חופפות.
• כל אורתוסכמה ניתנת לפירוק לשלוש אורתוסכמות קטנות יותר.
• במרחבים היפרבוליים וכדוריים תלת-ממדיים, נפח האורתוסכמות ניתן לביטוי באמצעות פונקציית לובצ'בסקי, או באמצעות דילוגריתמים.
• מתוך ${\tbinom {d+1}{2}}$ הזוויות הדיהדרליות התואמות לצלעות של סימפלקס אורתוסכמטי, בדיוק $d$ הן זוויות חדות; ${\tbinom {d}{2}}$ הזוויות הדיהדרליות הנותרות הן זוויות ישרות.

פירוק סימפלקסים לאורתוסכמות

הוגו הדוויגר שיער ב-1956 שכל סימפלקס ניתן לפירוק למספר סופי של סימפלקסים אורתוסכמטיים. ההשערה הוכחה בעבור מרחבים בעלי חמישה ממדים או פחות, אבל עודנה פתוחה בממדים גבוהים יותר.

ראו גם

• סימפלקס
• נוסחת שלפלי