על ספירלות

על ספירלות (ביוונית: Περὶ ἑλίκων) הוא חיבור שנכתב על ידי ארכימדס בשנת 225 לפנה"ס. החיבור מכיל 28 טענות על ספירלות, ונכתב כמכתב לחברו דוסיתאוס. אף על פי שארכימדס לא גילה את הספירלה הארכימדית, הוא נעזר בה בספרו כדי לרבע את העיגול ולחלק זווית לשלושה חלקים שווים. על ספירלות מכיל גם את החישוב המוקדם ביותר של שטח החסום בספירלה; בעיה שבמינוח מודרני היא בעיית אינטגרציה בקואורדינטות קוטביות – ארכימדס הוכיח שהשטח התחום על ידי זרוע הספירלה לאחר שהשלימה סיבוב אחד שווה לשליש משטח המעגל החוסם את הספירלה.

על ספירלות
Περὶ ἑλίκων

מידע כללי
מאת	ארכימדס
שפת המקור	יוונית עתיקה
סוגה	מסה
נושא	ספירלת ארכימדס, שילוש זווית, תרבוע העיגול
הוצאה
תאריך הוצאה	המאה ה־3 לפנה״ס

תכנים

הקדמה

ארכימדס פותח את על ספירלות במסר לחברו דוסיתאוס מפלוסיום וכותב כי מותו של קונון מסאמוס הוא אבידה למתמטיקה. אז הוא מתחיל לסכם את התוצאות של ספריו הקודמים על הכדור והגליל (Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) ועל קונואידים וספרואידים (Περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων). לאחר מכן הוא מתחיל לכתוב את תוצאותיו על ספירלות.

הספירלה הארכימדית

הספירלה הארכימדית עם שלושה סיבובים של 360 מעלות על זרוע אחת.

הספירלה הארכימדית נחקרה לראשונה על ידי קונון ומאוחר יותר על ידי ארכימדס בעל הספירלות. ארכימדס היה מסוגל למצוא מגוון משיקים לספירלה. הוא מגדיר את הספירלה כך:

אם קו ישר אשר נקודת קצה אחת שלו נותרת מקובעת במקומה מסובב בקצב אחיד במישור עד שהוא חוזר לתנוחה ממנו הוא התחיל להסתובב, ואם, באותו הזמן שהקו הישר מסתובב, נקודה נעה בקצב אחיד לאורך הקו הישר, ומתחילה מנקודת הקצה הקבועה, הנקודה תתאר ספירלה במישור.

חלוקת זווית לשלושה חלקים שווים

דוגמה לאיך שארכימדס חילק זווית לשלושה חלקים שווים בעזרת ספירלה.

הבנייה שבה ארכימדס שילש את הזווית היא כדלקמן:

נניח שאנו רוצים לחלק את הזווית ABC לשלושה חלקים שווים. נחלק את הקטע BC לשלושה קטעים שווים כך ש-BD יהיה שליש מ-BC. כעת נצייר מעגל עם מרכז B ורדיוס BD. נניח שהמעגל עם המרכז B חותך את הספירלה בנקודה E. הזווית ABE היא שליש מזווית ABC.

קשר בין ריבוע למעגל

המעגל והמשולש שווים בשטחם.

כדי ליצור ריבוע בעל שטח של מעגל נתון, ארכימדס מציג את הפיתוח הבא (המופיע ומוכח בטענה 19 בחיבורו):

תהי P הנקודה על הספירלה בה היא השלימה סיבוב אחד. נניח שהמשיק לספירלה בנקודה P חותך את האנך ל-OP ‏(O מרכז הספירלה) בנקודה T.‏ OT הוא האורך של ההיקף של מעגל עם רדיוס OP.

ארכימדס כבר הוכיח בטענה הראשונה בחיבורו המדידה של המעגל שהשטח של מעגל שווה לשטח משולש ישר-זווית בעל ניצבים שאורכם הוא רדיוס המעגל והיקף המעגל. לכן השטח של המעגל עם רדיוס OP שווה לשטח של המשולש OPT. מכאן הדרך לבניית ריבוע השווה בשטחו לשטח משולש OPT נעשית באמצעות כלים אפלטוניים בלבד (כלומר בנייה בסרגל ובמחוגה) – בהינתן קטעים באורך X ו-1 (נניח ש-OP = 1) ניתן לבנות קטע באורך ${\sqrt {X}}$ (נחבר בין הקטעים 1 ו-X, נבנה את המעגל שקוטרו הוא X+1, ונעלה מנקודת המפגש של הקטעים 1 ו-X אנך לקוטר שחותך את המעגל; משיקולי דמיון משולשים אורכו של האנך שנוצר הוא שורש X), ולאחר מכן ניתן לבנות על הקטע החדש כיתר משולש ישר-זווית שווה-שוקיים וכך לקבל קטע באורך ${\sqrt {X/2}}$ ולמעשה לקבל קטע באורך ${\sqrt {\pi }}$ (ולאחר מכן לבנות עליו ריבוע).