פונקציית בטא

פונקציית בטא היא פונקציה של שני מספרים מרוכבים המוגדרת על ידי האינטגרל:

:$\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!$

כאשר החלקים הממשיים מקיימים: ${\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0.\,$

הפונקציה נחקרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר ואדריאן-מארי לז'נדר ושמה ניתן לה על ידי ז'אק בינֶה. פונקציית בטא מגדירה את פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות בטא והיא משרעת הפיזור הראשונה שהתגלתה בתורת המיתרים, על ידי הפיזיקאי גבריאל ונציאנו.

מאפיינים

פונקציית בטא היא פונקציה סימטרית:

$\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)\!$

היא קשורה באופן הדוק לפונקציית גמא:

$\mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!$

הגדרות אינטגרליות נוספות לפונקציה:

$\mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta \qquad \!$

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt\qquad \!$

זהויות נוספות:

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}\!$

$\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\!$

בדומה להרחבת פונקציית העצרת לערכים מרוכבים בעזרת פונקציית גמא, ניתן להרחיב מקדמים בינומיים בעזרת פונקציית בטא:

${n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}$

פונקציית בטא הלא שלמה

באופן דומה להכללת פונקציית גמא לפונקציית גמא הלא שלמה, ניתן להכליל את פונקצית בטא לפונקצייה בטא הלא שלמה על ידי הנוסחה הבאה:

$\mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt$.

עבור $x=1$ פונקציית בטא הלא שלמה שווה זהותית לפונקציית בטא.

קיים קשר בין פונקציית בטא ופונקציית התפלגות של משתנה מקרי בינומי. עבור משתנה מקרי בינומי $X\sim \mathrm {Bin} (n,p)$,

$\Pr \left(X\leq k\right)={\frac {\mathrm {B} ((1-p);\,n-k,k+1)}{\mathrm {B} (n-k,k+1)}}=1-{\frac {\mathrm {B} (p;\,k+1,n-k)}{\mathrm {B} (k+1,n-k)}}$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית בטא בוויקישיתוף

• פונקציית בטא באתר Wolfram Mathworld
• פונקציית בטא, באתר MathWorld (באנגלית)