ההגדרה הנפוצה של פונקציית המשולש היא:
tri
(
x
)
=
Λ
(
x
)
=
def
max
(
1
−
|
x
|
,
0
)
=
{
1
−
|
x
|
,
|
x
|
<
1
;
0
תרחא
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{תרחא}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}
באופן שקול ניתן להגדיר את הפונקציה כקונבולוציה של שתי פונקציות מלבן זהות:
tri
(
x
)
=
rect
(
x
)
∗
rect
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
rect
(
x
−
τ
)
⋅
rect
(
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}}
את פונקציית המשולש ניתן להציג גם כמכפלה של פונקציית המלבן ופונקציית הערך המוחלט :
tri
(
x
)
=
rect
(
x
/
2
)
(
1
−
|
x
|
)
.
{\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.}
פונקציית משולש חלופית יש שמגדירים את פונקציית המשולש כבעל בסיס באורך 1 (במקום 2) כך:
tri
(
2
x
)
=
Λ
(
2
x
)
=
def
max
(
1
−
2
|
x
|
,
0
)
=
{
1
−
2
|
x
|
,
|
x
|
<
1
2
;
0
תרחא
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{תרחא}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}
ההגדרה הכללית של פונקציית המשולש היא:[1]
tri
j
(
x
)
=
{
(
x
−
x
j
−
1
)
/
(
x
j
−
x
j
−
1
)
,
x
j
−
1
≤
x
<
x
j
;
(
x
j
+
1
−
x
)
/
(
x
j
+
1
−
x
j
)
,
x
j
≤
x
<
x
j
+
1
;
0
תרחא
{\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{תרחא}}\end{cases}}}
במסגרת הגדרה כללית זו, ההגדרה שבתחילת פרק זה היא מקרה פרטי :
Λ
(
x
)
=
tri
j
(
x
)
,
{\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),}
כאשר
x
j
−
1
=
−
1
{\displaystyle x_{j-1}=-1}
x
j
=
0
{\displaystyle x_{j}=0}
x
j
+
1
=
1
{\displaystyle x_{j+1}=1}
לכל פרמטר
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
tri
(
t
a
)
=
∫
−
∞
∞
1
|
a
|
rect
(
τ
a
)
⋅
rect
(
t
−
τ
a
)
d
τ
=
{
1
−
|
t
/
a
|
,
|
t
|
<
|
a
|
;
0
תרחא
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{תרחא}}\end{cases}}\end{aligned}}}
התמרת פורייה
עריכה
התמרת פורייה מוגדרת כדלקמן:
F
{
tri
(
t
)
}
=
F
{
rect
(
t
)
∗
rect
(
t
)
}
=
F
{
rect
(
t
)
}
⋅
F
{
rect
(
t
)
}
=
F
{
rect
(
t
)
}
2
=
s
i
n
c
2
(
f
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}}
כאשר
sinc
(
x
)
=
sin
(
π
x
)
/
(
π
x
)
{\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}
פונקציית ה-sinc המנורמלת .
קישורים חיצוניים
עריכה
הערות שוליים
עריכה
