בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי .
פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת הקרויה על שמו של המתמטיקאי ברנהרד רימן , ונודעת לה חשיבות רבה בתורת המספרים , בשל הקשר שלה להתפלגותם של המספרים הראשוניים . לפונקציה שימושים גם בפיזיקה , בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה . באפסים של פונקציה זו, שהם הערכים שהצבתם בפונקציה תיתן אפס, עוסקת השערת רימן , שהיא אחת הבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה . הראשון שחקר את הפונקציה היה לאונרד אוילר במאה ה-18 .
גרף של פונקציית זטא עבור
s
>
1
{\displaystyle s>1}
ממשי
פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת המוגדרת עבור מספרים מרוכבים
s
{\displaystyle s}
בעלי חלק ממשי גדול מ-1 על ידי
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
. לטור דיריכלה זה קיימת המשכה אנליטית יחידה לכל המישור המרוכב , עם קוטב פשוט בנקודה
s
=
1
{\displaystyle \,s=1}
. פונקציה זו היא הדוגמה המוכרת ביותר למשפחה של פונקציות הקרויות כולן פונקציות זטא .
ניתן לחשב באופן אנליטי את הערכים של פונקציית זטא בנקודות ממשיות שלמות זוגיות, באמצעות שוויון פרסבל .
ζ
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
B
2
n
(
2
π
)
2
n
2
(
2
n
)
!
{\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}
כאשר n מספר טבעי ו
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
הוא המספר ברנולי ה
2
n
{\displaystyle 2n}
. מכאן מתקיים
∑
n
=
1
∞
1
n
2
=
ζ
(
2
)
=
π
2
6
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
∑
n
=
1
∞
1
n
4
=
ζ
(
4
)
=
π
4
90
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}=\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
באפסים של פונקציה זו, שהם הערכים שהצבתם בפונקציה תיתן אפס, עוסקת השערת רימן : ההשערה קובעת שכל האפסים ה"לא טריויאליים", כלומר האפסים שאינם מהצורה
−
2
m
{\displaystyle -2m}
כאשר
m
{\displaystyle m}
טבעי, נמצאים על הישר
ℜ
(
s
)
=
1
2
{\displaystyle \Re (s)={\frac {1}{2}}}
. השערה זו היא אחת הבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה .
הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים נובע מנוסחת המכפלה של אוילר :
ζ
(
s
)
=
∏
p
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
, כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים.
המשכה אנליטית והמשוואה הפונקציונלית
עריכה
כפי שהיא מוגדרת בדרך כלל, על ידי הסכום
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
, הפונקציה מתכנסת רק לערכים מימין לישר
ℜ
(
s
)
=
1
{\displaystyle \Re (s)=1}
. כדי להגדיר את הפונקציה על כל המישור, יש לבצע המשכה אנליטית : נשים לב תחילה ש -
∑
n
=
1
∞
n
−
s
=
∑
n
=
1
∞
s
∫
n
∞
d
t
t
s
+
1
=
s
∫
1
∞
[
t
]
t
s
+
1
d
t
=
s
s
−
1
−
s
∫
1
∞
t
−
[
t
]
t
s
+
1
d
t
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=\sum _{n=1}^{\infty }s\int _{n}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t^{s+1}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {[t]}{t^{s+1}}}\,\mathrm {d} t={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {t-[t]}{t^{s+1}}}\,\mathrm {d} t.}
האינטגרל בביטוי האחרון מתכנס מימין לישר
ℜ
(
s
)
=
0
{\displaystyle \Re (s)=0}
, ואפשר להשתמש בשוויון הזה כדי להגדיר את הפונקציה בתחום הרחב יותר.
אם מגדירים
Λ
(
s
)
=
Γ
(
s
/
2
)
π
−
s
/
2
ζ
(
s
)
{\displaystyle \Lambda (s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\zeta (s)}
, כאשר
Γ
{\displaystyle \Gamma }
היא פונקציית גמא , אז מתקיים השוויון
Λ
(
s
)
=
Λ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \Lambda (s)=\Lambda (1-s)}
לכל
s
{\displaystyle s}
מרוכב שאינו שלם. משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר
ℜ
(
s
)
=
1
/
2
{\displaystyle \Re (s)=1/2}
, היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו, ושל פונקציות זטא בכלל. אפשר להוכיח אותה מן הזהות
θ
(
i
/
t
)
=
t
1
/
2
θ
(
i
t
)
{\displaystyle \theta (i/t)=t^{1/2}\theta (it)}
שמקיימת פונקציית תטא
θ
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
π
i
n
2
z
{\displaystyle \theta (z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}z}}
. לפונקציית זטא של רימן יש גם גרסה סימטרית, שהיא פונקציית קסי של רימן , המוגדרת
ξ
(
s
)
=
1
2
s
(
s
−
1
)
π
−
s
/
2
Γ
(
1
2
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)}
.
Riemann's zeta function, H.M. Edwards, 1974.