פונקציית L של ארטין

בתורת המספרים פונקציית L של ארטין היא פונקציית L שמספקת מידע על ההתהגות של איבר פרובניוס המתאים לראשוניים שונים בהרחבת שדות מספרים נתונה. פונקציית L של ארטין מכלילה את פונקציית L של דיריכלה. כמו שפונקציית L של דירכלה מאפשרת לחקור התפלגות של ראשוניים בסידרה חשבונית, פונקציית L של ארטין מאפשרת לחקור התפלגות של ראשוניים בעלי תכונות אריתמטיות מורכבות יותר. לפי השערת לנגלנדס, כל פונקציית L של ארטין שווה לפונקציית L של תבנית אוטומורפית מתאימה.

את הפונקציה הגדיר אמיל ארטין בשנת 1923 על מנת לפרק את פונקציית זטא של דדקינד למכפלה של פונקציות בצורה שתכליל פרוקים קודמים של דדקינד וובר.

הקשר טרמינולגיה וסימונים

בהינתן הרחבת גלואה של שדות מספרים $L/K$ והצגה (מרוכבת) $\rho$ של חבורת גלואה $Gal(L/K)$, פונקציית L של ארטין היא פונקציה מרומורפית על $\mathbb {C}$. את ערכה של פונקציית L של ארטין בנקודה $s\in \mathbb {C}$ מסמנם ב: $$L(\rho ,s).$$ כרגיל בפונקציות L, הגדרות שונות של הפונקציה מגדירת פונקציה אנליטית רק בחלק מהמישור המרוכב, כך שגם לצימצום של פונקציית L של ארטין לתחומים אלו קוראים לעיתים פונקציית L של ארטין ומסמנים אותה באותו האופן.

לפונקציית L של ארטין יש גם גרסה עבור הצגה של חבורת גלואה של הרחבה של שדות מקומיים. גרסה זו נקראת פונקציית L המקומית של ארטין. כשרוצים להדגיש שמדברים על פונקציית L של ארטין הלא מקומית מכנים אותה פונקציית L הגלובלית של ארטין. הסימונים במקרה המקומי מקבילים לסימונים במקרה הגלובלי. פונקציית L המקומית של ארטין פשוטה בהרבה מזאת הגלובלית. במקרה של שדות מקומיים לא ארכימדיים היא מהווה פונקציה רציונלית ב - $p^{s}$ כאשר $p$ הוא מציין השארית של השדות המקומיים הרלוונטיים.

פונקציית L הגלובלית של ארטין היא מכפלה אינסופית של פונקצייות L מקומיות של ארטין המתאימות להרחבות שדות מקומיים לא ארכימדיים המתקבלים מההרחבה $L/K$. מסיבות טכניות לעיתים יותר נוח להגדיר את פונקציות L המקומיות של ארטין רק עבור חלק מהמקרים. אם מחליפים את המכפלה המלאה במכפלה חלקית מקבלים את פונקציית L החלקית של ארטין. למושג זה אין הגדרה מוסכמת אחת הוא טכני ותלוי הקשר.

ניתן להרחיב את המכפלה המגדירה את פונקציית L של ארטין כך שהיא תכיל גם פונקצייות L מקומיות המתאומות לשדות ארכימדיים. הפונקציה המתקבלת בצורה כזאת נקראת פונקציית L המורחבת של ארטין (או פונקציית $\Lambda$ של ארטין) ומסומנת לעיתים ב - $\Lambda$ במקום ב - $L$. היחס בין פונקציות L המורחבת של ארטין ופונקציות L של ארטין נקרא לעיתים כופל גמה. זאת משום שניתן להביע אותו באמצעות ביטוי פשוט יחסית שמערב את פונקציית גמא.

רקע

ראשוניים בשדה מספרים

בהינתן שדה מספרים $K$, ראשוני של $K$ הוא אידיאל ראשוני של החוג $O_{K}$ של השלמים ב - $K$. אם $K=\mathbb {Q}$ אז ראשוניים של $K$ הם פשוט מספרים ראשוניים.

ראשוניים של $K$ הם מקרה פרטי של מקומות של $K$. המקומת של $K$ כוללים מלבד הראשוניים של $K$ (הנקראים גם המקומות הלא-ארכימדיים של $K$) גם את המקומות הארכימדיים של $K$. ניתן להגדיר את המקומות הארכימדיים בתור שיכונים של $K$ ל - $\mathbb {C}$.

נסמן את אוסף הראשוניים של שדה $K$ ב - $\Pi _{K}$.

ראשוניים לא מסועפים

נקבע הרחבה סופית של שדות מספרים $L/K$. בהינתן ראשוני ${\mathcal {P}}\subset O_{K}$ ניתן לפרק את האידיאל ${\mathcal {P}}O_{L}\subset O_{K}$ לאידיאלים ראשוניים: $${\mathcal {P}}O_{L}={\mathcal {Q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathcal {Q}}_{n}^{e_{n}}$$ אומרים שהראשוניים ${\mathcal {Q}}_{i}$ נמצאים מעל הראשוני ${\mathcal {P}}$. אומרים ש - ${\mathcal {Q}}_{i}$ אינו מסועף ביחס להרחבה $L/K$ אם $e_{i}=1$. אומרים ש - ${\mathcal {P}}$ אינו מסועף ביחס להרחבה $L/K$ כל הראשוניים של $L$ הנמצאים מעליו אינם מסועפים.

ניתן להראות שכמעט כל הראשוניים של $K$ (זאת אומרת כולם פרט למספר סופי) הם לא מסועפים ביחס להרחבה הנתונה $L/K$. נסמן את אוסף הראשוניים של שדה $K$ שאינם מסועפים ביחס ל - $L/K$ ב - $\Pi _{K}^{L-un}$.

איבר פרובניוס

ערך מורחב – איבר פרובניוס

עבור הרחבת גלואה סופית של שדות מספרים $L/K$ ועבור ראשוני ${\mathcal {Q}}\subset O_{L}$ שאינו מסועף ביחס להרחבה זאת פרובניוס הגדיר איבר $Fr_{\mathcal {Q}}$ בחבורת גלואה $Gal(L/K)$. איבר זה נקרא איבר פרובניוס. ניתן להראורת שאם ${\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2}\subset {\mathcal {O}}_{L}$ הם שני ראשוניים הנמצאים מעל אותו ראשוני של $K$ אז איברי פרובניוס $Fr_{{\mathcal {Q}}_{1}}$ ו - $Fr_{{\mathcal {Q}}_{2}}$ צמודים בחבורת גלואה $Gal(L/K)$. בהתאם, עבור ראשוני ${\mathcal {P}}\subset O_{K}$ שאינו מסועף ביחס להרחבה $L/K$, מגדירים את איבר פרובניוס $Fr_{\mathcal {P}}\in Gal(L/K)$ להיות איבר פרובניוס של אחד הראשוניים של $L$ הנמצאים מעל ${\mathcal {P}}$. איבר זה אינו מוגדר היטב כאיבר בחבורה אך מוגדר עד כדי הצמדה. במילים אחרות מחלקת הצמידות שלו מוגדרת היטב. ניתן להרחיב הגדרה זו גם לראשוניים מסועפים, אולם במקרה זה איבר פרובניוס יהיה איבר בחבורת גלואה שונה במקצת.

הגדרה

נקבע הרחבת גלואה של שדות מספרים $L/K$ והצגה (מרוכבת) $\rho$ של חבורת גלואה $Gal(L/K)$.

פונקציית L המקומית של ארטין

יהי ${\mathcal {P}}\subset O_{K}$ ראשוני של $K$ שאינו מסועף ביחס להרחבה $L/K$. נגדיר $$L_{\mathcal {P}}(\rho ,s):={\frac {1}{\det \left((1-|O_{K}/{\mathcal {P}}|^{-s}\rho (Fr_{\mathcal {P}})\right)}}$$ פונקציה זו (כפונקציה מ - $s$) נקראת פונקציית L המקומית של ארטין. זוהי פונקציה רצינלית ב - $p^{s}$ ובפרט פונקציה מרומורפית ב - $s$. ניתן להרחיב הגדרה זו גם עבור ראשוניים מסועפים. ההגדרה מסובכת מעט יותר אך עדיין נותנת פונקציות רציונליות ב - $p^{s}$. ניתן גם להרחיב הגדה זו כאשר מחליפים את ${\mathcal {P}}$ במקום ארכימדי של $K$. אולם במקרה זה לא יהיה ניתן להביע את הפונקציה שתתקבל באמצעות פונקציה רציונלית, ותתקבל פונקציה מרומורפית מסובכת יותר הניתנת להבעה באמצעות פונקציית גמא.

הערה: אם בוחרים ראשוני ${\mathcal {Q}}$ הנמצא מעל ${\mathcal {P}}$ אז ניתן להגדיר הרחבת שדות מקומיים $L_{\mathcal {Q}}/K_{\mathcal {P}}$ כאשר $L_{\mathcal {Q}}$ ו - $K_{\mathcal {P}}$ הם ההשלמות של $L$ ו - $K$ על פי הערכים המוחלטים המוגדרים באמצעות הראשוניים המתאימים. מכאן מקבלים שיכון של חבורות גלואה $Gal(L_{\mathcal {Q}}/K_{\mathcal {P}})\subset Gal(L/K)$. קל לראות שפונקציית L המקומית של ארטין תלויה רק בשדות $L_{\mathcal {Q}}$ ו - $K_{\mathcal {P}}$ ובצימצום $\rho |_{Gal(L_{\mathcal {Q}}/K_{\mathcal {P}})}$. למעשה ניתן להגדיר אותה עבור כל הצגה $\tau$ של $Gal(E/F)$ כאשר $E/F$ היא הרחבת גלואה של שדות מקומיים. במקרה כזה מסמנים את ערכה של פונקציית L המקומית של ארטין ב - $L(\tau ,s)$.

פונקציית L הגלובלית של ארטין

פונקציית L של ארטין מוגדרת באופן הבא: $$L(\rho ,s)=\prod _{{\mathcal {P}}\in \Pi _{K}^{}}L_{\mathcal {P}}(\rho ,s).$$ קל לראות שמכפלה זו מתכנסת עבור $s$ בעל חלק ממשי גדול מספיק, ובהתאם מגדירה פונקציה אנליטית בחצי מישור ימני.

פונקציית L החלקית של ארטין

בהינתן קבוצה סופית של ראשוניים $S\subset \Pi _{K}$ ניתן להגדיר את פונקציית L החלקית של ארטין על ידי $$L^{S}(\rho ,s)=\prod _{{\mathcal {P}}\in \Pi _{K}\smallsetminus S}L_{\mathcal {P}}(\rho ,s).$$ בדרך כלל בוחרים את $S$ כך שתכיל את כל הראשוניים המסועפים. בכך אפשר להמנע מהעיסוק בראשוניים המסועפים בהם ההגדרה של פונקציות L המקומייות מסובכת יותר. בחירות שונות של $S$ ישנו את הפונקציה, אבל, למטרות רבות, שינוי זה לא יהיה משמעותי. יחס בין שתי פונקציות L חלקיות הוא פונקציה מרומורפית עם תאור פשוט יחסית. הנתוח של פונקציית L החלקית פשוט יותר מזאת של המלאה (בהנחה שבוחרים את $S$ באופן מתאים), עם זאת הוא מספק מידע רב על פונקציית L המלאה, כך שדי בו כדי להוכיח תכונות רבות של פונקציית L של ארטין. לאומת זאת, עבור תכונות עדיונת יותר, כמו השערת ארטין ומשוואה פונקציאלית (ראו להלן) לא די בפונקציית L החלקית.

פונקציית L המורחבת של ארטין

פונקציית L המורחבת של ארטין מוגדרת באופן דומה לפונקציית L של ארטין אלא שהמכפלה היא על כל המקומות של $K$. במילים אחרות פונקציית L המורחבת של ארטין היא המכפלה של פונקציית L של ארטין במכפלת פונקציית L המקומיות של ארטין עבור כל המקומות הארכימדיים. המכפלה של פונקציית L המקומיות של ארטין עבור כל המקומות הארכימדיים של $K$ נקראת לעיתים כופל גמה והגדרתה מבוססת על פונקציית גמא. כופל גמה פשוט בהרבה מפונקציית L של ארטין (בגלל שהמכפלה בהגדרתו היא סופית) אולם מסובך יותר מפונקציית L המקומית של ארטין.

תכונות

פסקה זו נמצאת בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך פסקה זו בטרם תוסר ההודעה הזו. אם הפסקה לא נערכה במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך את הפסקה, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחת המשתמש.

שימושים וקשרים לתחומים שונים

פסקה זו נמצאת בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך פסקה זו בטרם תוסר ההודעה הזו. אם הפסקה לא נערכה במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך את הפסקה, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחת המשתמש.

ראו גם

• פונקציית L של דיריכלה
• איבר פרובניוס
• משפט הצפיפות של צ'בוטרב
• השערת לנגלנדס

לקראה נוספת

• ארטין, אמיל (1923). "Über eine neue Art von L Reihen". Hamb. Math. Abh. 3. Reprinted in his collected works, ISBN 0-387-90686-X. English translation in Artin L-Functions: A Historical Approach by N. Snyder.
• ארטין, אמיל (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (בגרמנית), 8: 292–306, doi:10.1007/BF02941010, JFM 56.0173.02, S2CID 120987633
• Tunnell, Jerrold (1981). "Artin's conjecture for representations of octahedral type". Bull. Amer. Math. Soc. N. S. 5 (2): 173–175. doi:10.1090/S0273-0979-1981-14936-3.
• גלברט, סטיבן (1977). "Automorphic forms and Artin's conjecture". Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976). Lecture Notes in Math. Vol. 627. Berlin: Springer. pp. 241–276.
• לנגלנדס, רוברט (1967). "Letter to Prof. Weil".
• Langlands, Robert P. (1970). "Problems in the theory of automorphic forms". Lectures in modern analysis and applications, III. Lecture Notes in Math. Vol. 170. Berlin, New York: Springer-Verlag. pp. 18–61. doi:10.1007/BFb0079065. ISBN 978-3-540-05284-5. MR 0302614.
• Martinet, J. (1977). "Character theory and Artin L-functions". In Fröhlich, A. (ed.). Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975. Academic Press. pp. 1–87. ISBN 0-12-268960-7. Zbl 0359.12015.
• תבנית:Springer
• Prasad, Dipendra; Yogananda, C. S. (2000). "A Report on Artin's Holomorphy Conjecture". In Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (eds.). Number Theory (PDF). Birkhäuser Basel. pp. 301–314. doi:10.1007/978-3-0348-7023-8_16. ISBN 978-3-0348-7023-8.

קישורים חיצוניים

• מאמר סקירה מעת ג'יימס קוגדל על הנושא.