שדה (מבנה אלגברי)

(הופנה מהדף שדה (מתמטיקה))

שדה הוא קבוצה שעליה פועלים חיבור, חיסור, כפל, וחילוק המתנהגים כמו הפעולות המתאימות על המספרים הרציונליים והממשיים. על כן, שדה הוא מבנה אלגברי בסיסי אשר נעשה בו שימוש נרחב באלגברה (במיוחד באלגברה מופשטת), תורת המספרים, ותחומים רבים אחרים במתמטיקה.

השדות הידועים ביותר הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. שדות רבים אחרים, כגון שדות של פונקציות רציונליות, שדות מספרים ושדות p-אדיים, נלמדים ומשומשים רבות במתמטיקה, במיוחד בתורת המספרים ובגאומטריה אלגברית. רוב הפרוטוקולים הקריפטוגרפיים נשענים על שדות סופיים, כלומר שדות עם כמות סופית של איברים.

הקשר בין שני שדות מתבטא ברעיון של הרחבת שדות. תורת גלואה, אותה התחיל אווריסט גלואה במאה ה-19, מוקדשת להבנת הסימטריות (האוטומורפיזמים) של הרחבות שדה. בין היתר, תורה זו מראה כי לא ניתן לשלש זווית או לתרבע מעגל באמצעות סרגל ומחוגה. יתרה מזאת, היא מראה כי משוואות ממעלה חמישית אינן ניתנות לפתרון אלגברי.

שדות משמשים כרעיונות יסוד במספר תחומים מתמטיים. זה כולל ענפים שונים של אנליזה מתמטית, המבוססים על שדות עם מבנה נוסף. משפטים בסיסיים באנליזה מצביעים על המאפיינים המבניים של שדה המספרים הממשיים. כל שדה עשוי לשמש כסקלרים עבור מרחב וקטורי, שהוא ההקשר הכללי הסטנדרטי עבור אלגברה ליניארית. שדות מספרים, אחיהם של שדה המספרים הרציונליים, נלמדים לעומק בתורת המספרים.

היסטוריהעריכה

את ההגדרה הכללית של המושג הציע היינריך מרטין ובר ב-1893, בעקבות ריכרד דדקינד שב-1877 קרא "שדה" לקבוצה של מספרים (מרוכבים) הסגורה לארבע הפעולות. ברעיון הבסיסי של הרחבת שדות (נוצרת סופית) השתמש גלואה כבר ב-1831.

הגדרהעריכה

מבוא אינטואיטיביעריכה

באופן לא פורמלי, שדה הוא קבוצה יחד עם שתי פעולות שהוגדרו עליה – פעולת חיבור הנכתבת על ידי   ופעולת כפל הנכתבת על ידי   כאשר שניהם מתנהגים באופן דומה לחיבור וכפל אצל מספרים רציונליים ומספרים ממשיים, כולל קיומו של מספר נגדי   לכל   ושל מספר הופכי   לכל   שונה מאפס. זה מאפשר לשקול גם את מה שנקרא פעולות "הפוכות" של חיסור,   וחלוקה,  , על ידי הגדרת:

 

 

הגדרה פורמליתעריכה

שדה   זו קבוצה עם שתי פעולות בינאריות הנקראות חיבור וכפל. תוצאת החיבור של   מסומנת   ותוצאת הכפל מסומנת  , או בקיצור  . הפעולות הללו חיובות לקיים את האקסיומות הבאות לכל   ב- :

  • קומוטטיביות של חיבור ושל כפל:   והן   (בעברית, חוק החילוף)
  • אסוציאטיביות של חיבור ושל כפל:   והן   (בעברית, חוק הקיבוץ)
  • איברים נייטרליים לחיבור ולכפל: קיימים איברים שונים   המקיימים   ו- 
  • קיום מספר נגדי: לכל   קיים איבר ב-  שיסומן   המקיים  
  • קיום מספר הופכי: לכל   קיים איבר ב-  שיסומן   או   המקיים  
  • דיסטריבוטיביות:   (בעברית, חוק הפילוג)

כל זה ניתן לקיצור באמירה כי שדה זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל כאשר השדה עם פעולת החיבור זו חבורה אבלית, השדה בלי 0 עם פעולת הכפל זו חבורה אבלית, ומתקיימת דיסטריבוטיביות. זה ניתן לסיכום אפילו יותר בקצרה באמירה כי שדה הוא חוג קומוטטיבי שבו כל איבר שונה מ-0 הוא הפיך.

דוגמאותעריכה

מספרים רציונלייםעריכה

  ערך מורחב – מספר רציונלי

מספרים רציונליים היו בשימוש נרחב זמן רב לפני המצאת מושג השדה. אלו מספרים שניתן לכתוב כשברים  , כאשר   ו-  הם מספרים שלמים עם  . הנגדי לשבר שכזה הוא   וההופכי אליו (בהנחה כי  ) הוא  , שניתן לראות כדלקמן:

 

כל אקסיומות השדה שצריך לקיים אלו תכונות סטנדרטיות של מספרים רציונליים. לדוגמה, ניתן להוכיח דיסטריבוטיביות באופן הבא:

 

מספרים ממשיים ומרוכביםעריכה

  ערכים מורחבים – מספר ממשי, מספר מרוכב

המספרים הממשים  , עם הפעולות הרגילות של חיבור וכפל, גם יוצרים שדה. המספרים המרוכבים   מורכבים מביטויים   עם   ממשיים, כאשר   היא היחידה המדומה, כלומר מספר (לא ממשי) המקיים  .

מספרים הניתנים לבנייהעריכה

 
חזקה של נקודה מראה כי  . בחירת   מאפשרת בנייה של השורש הריבועי של מספר נתון  .

בעת העתיקה, מספר בעיות גאומטריות נגעו להיתכנות של בניית מספרים מסוימים באמצעות סרגל ומחוגה. למשל, לא היה ידוע ליוונים כי לא ניתן לשלש זווית באופן זה. ניתן לפתור בעיות אלה באמצעות שדה המספרים הניתנים לבנייה. מספרים ניתנים לבנייה הם, בהגדרה, אורכים של קטעים שניתן לבנות בכמות סופית של צעדים תוך שימוש רק סרגל ומחוגה, בהינתן קטע באורך 1. מספרים אלה, עם חיבור וכפל שמוגדרים עליהם בתור מספרים ממשיים, יוצרים שדה הכולל את שדה הרציונליים  . האיור מראה כיצד ניתן לבנות שורש ריבועי של אורך נתון, שורש שאינו בהכרח מספר רציונלי. בהינתן קטע   באורך  , ניתן לשרטט את הנקודות   ו- עם האורכים המתוארים באיור, יחד עם חצי מעגל שקוטרו   ואנך לישר הנתון דרך  . הנקודה  , שהיא החיתוך של חצי המעגל ושל האנך, תהיה במרחק של   מ- .

לא כל המספרים הממשיים ניתנים לבנייה. ניתן להראות כי   אינו מספר הניתן לבנייה, מה שמראה כי אי אפשר להכפיל את הקובייה, בעיה נוספת שהציבו היוונים הקדמונים.

חיבור כפל
+ O I A B
O O I A B
I I O B A
A A B O I
B B A I O
· O I A B
O O O O O
I O I A B
A O A B I
B O B I A

שדה עם ארבעה איבריםעריכה

בנוסף למערכות מספרים מוכרות כמו הרציונליים, ישנן דוגמאות אחרות ופחות מיידיות של שדות. הדוגמה הבאה היא שדה המורכב מארבעה איברים הנקראים  ,  ,   ו- . הסימון נבחר כך ש-  ממלא את התפקיד של האיבר הנייטרלי לחיבור (מסומן 0 באקסיומות שלמעלה), ו-  הוא האיבר הנייטרלי לכפל (מסומן 1 באקסיומות לעיל). ניתן לאמת את אקסיומות השדה באמצעות כלים נוספים מתאוריית השדות, או על ידי חישוב ישיר. לדוגמה,

  שווה ל-  כמו שמתבקש מדיסטריבוטיביות.

שדה זה נקרא שדה סופי עם ארבעה איברים, והוא מסומן   או  . התת-קבוצה המורכבת מ-  ו-  (מודגשת באדום בטבלאות משמאל) היא גם שדה, המכונה השדה הבינארי   או  . בהקשר של מדעי המחשב ואלגברה בוליאנית,   ו-  מסומנים לעיתים קרובות בהתאמה על ידי שקר ואמת, חיבור מסומן על ידי XOR, והכפל מסומן AND. במילים אחרות, מבנה השדה הבינארי הוא המבנה הבסיסי המאפשר מחשוב עם ביטים.

מושגים בסיסייםעריכה

מסקנות מההגדרהעריכה

לכל   ב-  מתקיים גם ש- , מה שאומר כי כל שדה הוא תחום שלמות.

התכונות הבסיסיות הבאות מתקיימות לכל   ב- :

 

 

 

 

 

 

 

מאפייןעריכה

  ערך מורחב – מאפיין (אלגברה)

בנוסף לחיבור ולכפל שמוגדרים לכל שני איברי  , ניתן להגדיר את המכפלה   לכל איבר   ב-  ושלם חיובי   על ידי החיבור החוזר

 

אם אין שלם חיובי המקיים   אז יאמר על השדה שיש לו מאפיין  . למשל, לשדה של מספרים רציונליים   יש מאפיין   כיוון שאין בו שלם חיובי השווה ל- . אחרת, אם יש שלם חיובי   המקיים את המשוואה הזו, ניתן להראות כי השלם החיובי הכי קטן שמקיים את המשוואה הזו הוא מספר ראשוני. במצב זה, נהוג לסמן את מספר זה ב-  ונאמר על השדה שיש לו מאפיין  .

אם ל-  יש מאפיין   זה אומר כי   לכל   ב- . מזה נובע כי

 

מכיוון שכל המקדמים הבינומיים האחרים המופיעים בבינום של ניוטון מתחלקים ב- . כאן,

 

מוגדר על ידי כפל חוזר. מכך נובע שהומומורפיזם פרובניוס

 

הוא אכן הומומורפיזם של שדות. הקיום של הומומורפיזם שכזה הופך שדות עם מאפיין   לדי שונים משדות עם מאפיין  .

תת-שדותעריכה

תת-קבוצה של שדה   נקראת תת שדה אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במילים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של  , ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההופכי.

אם   הוא תת-שדה של  , אז   הוא מרחב וקטורי מעל  , ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי,   מוכרח להיות אלגברי מעל  . במקרה זה, כדי שתת-קבוצה   המכילה את   וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.

לכל שדה יש תת-שדה ראשוני, שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות שדה סופי בעל גודל ראשוני, או להכיל את כל המספרים השלמים, שאז הוא בהכרח מכיל את הרציונליים. במקרה הראשון המאפיין של השדה הוא גודל השדה הראשוני, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.

שדות סופייםעריכה

  ערך מורחב – שדה סופי

שדות סופיים (או שדות גלואה) אלו שדות עם כמות סופית של איברים, שמספרם מכונה גם הסדר של השדה. למעלה נמצאת הדוגמה לשדה עם ארבעה איברים, או  . התת-שדה שלו   הוא השדה הקטן ביותר, שכן לפי ההגדרה לכל שדה יש שני איברים שונים  .

השדות הסופיים הפשוטים ביותר, אלו עם סדר ראשוני מתקבלים ישירות מחשבון מודולרי. עבור שלם חיובי  , על הקבוצה

 

מוגדרים פעולות כפל וחיבור על ידי ביצוע כפל וחיבור ב- , ולקיחת השארית אחרי חלוקה ב- . הקבוצה הזו תצא שדה אם ורק אם   הוא מספר ראשוני, כיוון שאחרת ניתן לקחת זוג מספרים שלמים חיוביים   כך ש-  שזה   ב- , וזה מונע מ-  להיות שדה כמוסבר למעלה.

לכל שדה סופי   יש   איברים, כאשר   ראשוני כלשהו ו- . טענה זו נכונה כיוון שניתן לראות את   בתור מרחב וקטורי מעל התת-שדה הראשוני שלו. הממד של מרחב וקטורי זה הוא בהכרח סופי, נסמנו  , ונקבל את הדרוש.

ניתן לבנות שדה עם   איברים בתור שדה הפיצול של הפולינום  .

שדה פיצול זה הוא הרחבה של   שבה לפולינום   יש   שורשים. שורשים אלו יוצרים שדה בפני עצמם כיוון שאם   הם שורשים של פולינום זה, אז מתקיים   בבירור, וגם   הנובע משימוש חוזר בשוויון  . שדה זה הוא בגודל  , והוא מסומן על ידי  . זהו השדה היחיד עם   איברים, מכיוון שאם נתבונן בחבורה הכפלית של שדה שכזה, נקבל ממשפט לגראנז' כי כל איברי השדה הם שורשים של הפולינום  .

בניית שדותעריכה

בניית שדות מחוגיםעריכה

חוג קומוטטיבי זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל המקיימת את כל האקסיומות של השדה פרט לקיום ההופכי  . למשל, המספרים השלמים   הם חוג קומוטטיבי אבל לא שדה, מכיוון שההופכי של מספר שלם   אינו שלם אלא אם  .

בהיררכיית המבנים האלגבריים, שדות ניתנים לאפיון בתור חוגים קומוטטיביים   שבהם כל איבר שונה מ-  הוא איבר הפיך (מה שאומר כי לכל איבר יש הופכי). באופן דומה, שדות הם חוגים קומוטטיביים עם בדיוק שני אידיאלים,   ו- . שדות גם מאופיינים בתור החוגים הקומוטטיביים בהם   הוא האידיאל הראשוני היחיד.

בהינתן חוג קומוטטיבי  , יש שני דרכים להגדיר שדה הקשור ל- , כלומר שתי דרכים לשנות את   כך שכל איבריו השונים מ-  יהיו הפיכים: יצירת שדה שברים, ויצירת שדה מנה. עבור חוג השלמים  , שדה השברים הוא שדה הרציונליים   בעוד ששדות המנה של   הם השדות הסופיים  .

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה