מרחב ספרבילי

בטופולוגיה, מרחב ספרבילי הוא מרחב שקיימת בו קבוצה צפופה בת מנייה. אינטואיטיבית פירוש הדבר הוא שכל האיברים במרחב קרובים דיים למספר "לא גדול מדי" של איברים.

דוגמה למרחב ספרבילי הוא הישר הממשי, משום שקבוצת המספרים הרציונליים היא קבוצה צפופה (שכן כל קטע פתוח מכיל מספר רציונלי) וקבוצת המספרים הרציונליים היא בת מנייה.

משפט: כל מרחב שמקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא ספרבילי.

הוכחה: בהינתן מרחב טופולוגי עם בסיס בן מנייה , נוכל לבחור באופן שרירותי לכל ולעיין בקבוצת כל הנקודות האלו, שנסמנה . היא כמובן בת מנייה מעצם הגדרתה, ובנוסף (כלומר צפופה): בהינתן , כל איבר בבסיס המכיל אותו חותך את (מעצם הגדרת ) ולכן .

הכיוון ההפוך של המשפט שלעיל לא נכון: לא כל מרחב ספרבילי הוא מרחב מנייה שנייה. דוגמה לכך היא הישר של סורגנפריי (כלומר הישר הממשי עם טופולוגיית הגבול התחתון). שם מתקיים ולכן ספרבילי, אך ניתן להראות שהוא לא מרחב מנייה שנייה. עם זאת, אם נוסף את הדרישה שהמרחב הוא מטריזבילי, הרי שהטענה נכונה; דהיינו, מרחב מטריזבילי וספרבילי הוא מרחב מנייה שנייה.

ניתן להראות שכל מרחב מטרי קומפקטי הוא ספרבילי (משום שהוא חסום כליל). דוגמה למרחב שהוא לא ספרבילי היא המספר הסודר הראשון שאיננו בן מנייה עם טופולוגיית סדר.

מכפלה של עד (כולל) עוצמת הרצף מרחבים ספרבילים (עם טופולוגיית המכפלה) היא ספרבילית. לעומת זאת, מכפלה של יותר מעוצמת הרצף מרחבים לא טריוויאלים איננה ספרבילית.

ספרביליות אינה תכונה תורשתית. למשל, המרחב ספרבילי (כמכפלת שני מרחבים ספרביליים), אך האלכסון הוא תת-מרחב שלו שאינו ספרבילי.

ראו גםעריכה