שיחה:מכפלה וקטורית

כתוב כי התוצאה של המכפלה הוקטורית היא וקטור שעובר בנקודת החיתוך של שני הוקטורים המוכפלים- זו טעות מתמטית חמורה!!! וקטורים הם "ניידים" במרחב, ולא מקובעים לנקודה, ולכן אין למשפט זה כל משמעות.

כמה התלבטויות:

1. האם לא עדיף לשים לינק ל וקטור (פיסיקה), ולא לוקטור (אלגברה)?
2. נראה לי שהמשפט "חשוב להדגיש שהשימוש בדטרמיננטה כאן הוא רק בתור סימון שמטרתו להקל על זכירת הנוסחה, ואין לו שום משמעות, מתמטית או אחרת, מעבר לכך." לפחות מוגזם. זה נכון שזה לא דטרמיננטה רגילה, אבל זה לא מקרה שאפשר להשתמש בזה. זה נובע מתכונת האנטי סימטריות, ואפשר לראות את זה על ידי שימוש בטנסור לוי צ'ביטה שהזכרתי בתוספת.
3. אני תוהה גם האם זה באמת שייך לאלגברה לינארית.

eman

בערך וקטור (אלגברה) נאמר, "באלגברה לינארית, וקטור הוא איבר של מרחב וקטורי. בכך הוא מהווה הכללה של מושג הוקטור הפיסיקלי". ערך זה (מכפלה וקטורית) שייך, לדעתי, לאלגברה לינארית, ועוסק בביסוס המתמטי של המושג. מובן שביסוס מתמטי זה משמש גם את הפיסיקאים כאשר הם עוסקים במושג וקטור (פיסיקה) מנקודת המבט שלהם. בסעיף "ראה גם" אפשר לתת קישור לוקטור (פיסיקה), אך לא בגוף הערך. לתיאוריה המתמטית יש קיום עצמאי, בלי קשר לשימוש שעושים בה הפיסיקאים. יותר משמעותי בעיני הקישור ההפוך, מהערך וקטור (פיסיקה) לערך מכפלה וקטורית. זו תשובתי לשאלות 1 ו-3. קטונתי מלהתייחס לשאלה 2. דוד שי 22:51, 6 ספט' 2004 (UTC)

העניין הוא, שהמכפלה הוקטורית (בניגוד למכפלה סקלרית) מוגדרת בעצם רק לוקטור במונח הצר שלו (ובשלושה מימדים). על רוב הוקטורים שמכוסים בערך "וקטור (אלגברה)" הפעולה של מכפלה וקטורית לא תעבוד. מאותה סיבה אני תוהה גם על השייכות לאלגברה לינארית, שכן גם שם לרוב מדברים על וקטורים "מוכללים" שעליהם הפעולה הזאת לא תעבוד. eman

טוב, ראשית, בקשר לקישור לוקטור: בהתחלה חשבתי לשים קישור לדף הפירושונים, ושכל מי שזקוק למשהו יבחר בעצמו. מצד שני, הערך וקטור (פיסיקה) כמו שהוא כרגע לא כתוב טוב, ולא ברור לי מתי ואם זה ישתנה, ומכיוון שהוקטור הוא בראש ובראשונה יישות מתמטית, המכפלה הוקטורית היא כלי מתמטי והקטגוריה של הערך הזה, גם באנגלית, הוא אלגברה (כמו גם הוא מופיע ברשימת הנושאים באלגברה לינארית) העדפתי לשים קישור לוקטור אלגברה. משזה נאמר, אני די משוכנע שראוי לקשר כאן גם לפיזיקה. אפשר להוסיף שורה כמו "למכפלה הוקטורית שימושים רבים בפיזיקה, מכיוון שהוקטורים הפיזיקליים הם מהכלים המתמטיים המרכזיים בהם משתמשת הפיזיקה" או משהו כזה. קשה לי לכתוב דברים כאלו, כי אני לא מבין כלום בפיזיקה.

שנית, באשר לדטרמיננטה - כאן אני חוזר כמו תוכי על דברי המרצה שלי לפיסיקה א' (נקווה שזה לא מפר זכויות יוצרים). את ההרחבה הטנזורית אני לא מכיר, ואם אפשר להשתמש בדטרמיננטה (למשל, על ידי כפל דטרמיננטות) אני לא מכיר את השימוש. לטעמי עדיין ראוי לציין אזהרה, לפיה לא מדובר בדטרמיננטה רגילה, אבל אם לדעתך החריפות הנוכחית שבה זה מנוסח פוגעת בערך, אתה מוזמן לצמצם. אני חשבתי שמדובר בצורת כתיבה מקוצרת, ותו לא.

באשר לשאלה השלישית, בערך כמו שנכתב על השאלה הראשונה, הלכתי כאן לפי ויקי האנגלית, ובאמת היה לי עקצוץ בעייתי של תמיהה האם להוסיף את זה לפיזיקה. עקרונית לא אני הוספתי את המכפלה הוקטורית ל"רשימת הנושאים באלגברה לינארית" בשעתו, אבל אם מישהו הוסיף אותה, נראה לי שיש היגיון שהערך הזה ישתייך גם לאלגברה לינארית (אם כי, אני מודה, נתקלתי לראשונה במכפלה וקטורית בקורס פיזיקה, לא בקורס אלגברה). אתה בהחלט מוזמן להוסיף את הערך לקטגורית הפיזיקה המתאימה (אני לא מכיר את תת הקטגוריות שבפיזיקה, אז אני מעדיף לא לעשות את זה).

בכל מקרה, תודה רבה על התרומות לערך, ואני מקווה שתמשיך להוסיף לו ולתקן אותו - כאן זה ערך שכתבתי מבלי להכיר אותו עד הסוף כמו שצריך, מכיוון שהגעתי למסקנה שהגיע הזמן לסגור חורים שנשארו באלגברה לינארית. גדי אלכסנדרוביץ' 05:12, 7 ספט' 2004 (UTC)

---

רק רציתי להודות לעורכי הערך הנ"ל, יש לי מבחן בפיזיקה 2 בקרוב ותמיד היה לי רק מושג מעורפל לגבי מכפלה וקטורית (אולי בגלל זה נכשלתי במועד א'? ;). ההסבר פה הוא קוהרנטי ומאוד עזר לי, תודה.

חוץ מההסבר לגבי לכופף את כף היד כך שתיצור מעגל כלפי הוקטור השני? קצת לא ברור.

אלכס.

אם תוכלו לציין שהציור מתאר שדה תלת מימדי Bvb 22:53, 3 מאי 2006 (IDT)

איך מחשבים

מכפלה ווקטורית ב-2 ממדים? --80.178.42.251 14:08, 1 ביולי 2007 (IDT)

בערך יש נוסחה לחישוב המכפלה הוקטורית למימד כללי (n). כיוון שהיא מסובכת מעט הוספתי באופן מפורש את הנוסחה לn=2. ‏עדיאל‏ 14:43, 1 ביולי 2007 (IDT)

האם קיימת פונקציית מכפלה שבה וקטור N ממדי כפול וקטור N ממדי יצא וקטור N ממדי, ולא טנזור N-2 ממדי?--84.95.101.234 22:03, 2 באוגוסט 2007 (IDT)

אפשר להגדיר מבנה של כפל על המרחב הוקטורי ה-N-ממדי מעל R בהרבה דרכים שונות. כל שעליך לעשות הוא לבחור למה יהיו שוות כל המכפלות $\ e_{i}e_{j}$, כאשר $\ e_{1},\dots ,e_{n}$ הם וקטורי בסיס. מתוך כל המכפלות האלה יהיו כמה וכמה מכפלות אסוציאטיביות (למשל, כאשר N ריבועי, אפשר לדמיין שהמרחב הוא מרחב של מטריצות). אף אחת מאלה אינה מעניינת במיוחד. עוזי ו. 22:08, 2 באוגוסט 2007 (IDT)

2 וקטורים ${\vec {A}},{\vec {B}}$ הם מקבילים, אם ורק אם ${\vec {A}}=\lambda {\vec {B}}$

שאלה

האם אפשר לתת ייצוג מטריציוני לוקטורים תלת ממדיים כך שחיבור וקטורים יעשה כחיבור מטריצות ומכפלה וקטורית תיעשה ככפל מטריצות?--80.178.71.115 15:26, 5 באוגוסט 2007 (IDT)

כפל מטריצות הוא תמיד אסוציאטיבי. עוזי ו. 16:04, 5 באוגוסט 2007 (IDT)

התשובה באופן קצר היא לא. אבל באופן ארוך זה קצת יותר מסובך. קודם כל בכל מקרה מכפלה וקטורית לא יכולה להעשות ככפל מטריצות (והוזי הסביר בתמציטיות מתמטית מדוע). אבל

שים לב למה שכתוב בערך בקטע של הרחבה ל-n ממדים, על כך שבשלושה מימדים מכפלה וקטורית מערבת פסאודו--וקטורים. משני וקטורים לא ייצא וקטור ממש, אלא פסאדו וקטור. פסאודו וקטור ניתן לתאור גם כוקטור, אבל גם כמטריצה אנטי סימטרית (גם בה יש רק 3 דרגות חופש), ולמעשה זה ייצוג "נכון" יותר.

ואז, עם הגדרה קצת שונה של ההכללה, כל הפעולות ניתנות להעשות ע"י לא מכפלת מטריצות, אלא משהו קצת יותר מוכלל, של מכפלה של טנסורים, שכוללת גם את טנסור לוי צ'יוויטה.

מה שאני כותב בכלל מתחיל להיות מובן, או שאני צריך לתת דוגמה?

eman • שיחה • ♥ 16:20, 5 באוגוסט 2007 (IDT)

טוב, עשיתי קצת ריענון, וגם קצת חישובים, והמסקנה היא שבמובן מסויים אולי כן אפשר.

קודם כל, כאמור, בשביל זה צריך להפריד בין וקטורים אמיתיים, שאותם אפשר להמשיך להשאיר כווקטורים, ופסאודו וקטורים (יצורים כמו שדה מגנטי, תנע זוויתי וכו') שאותם כדאי להציג כטנזורים א-סימטריים מסדר שני (מטריצות א-סימטריות). כדאי לזכור שממכפלה וקטורית של שני וקטורים מתקבל פסאודו וקטור, ממכפלה וקטורית של וקטור ופסאודו וקטור מתקבל בחזרה וקטור רגיל (וממכפלה וקטורית של שני פסאודו וקטורים מתקבל פסאדו וקטור, אבל יש מעט מאוד מקרים, אם בכלל, שעושים בהם את זה).

אם רוצים להציג פסאודו וקטור כטנזור כזה, נוסחת המעבר היא:

$\ B_{ij}=\sum _{k}\epsilon _{ijk}B'_{k}$

כאשר האפסילון הוא טנזור לוי-צ'יוויטה

כלומר אם הוקטור הוא

${\vec {B}}'={\begin{pmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\end{pmatrix}}$

אז הטנזור האנטי סימטרי המתאים הוא:

$B={\begin{pmatrix}0&B_{z}&-B_{y}\\-B_{z}&0&B_{x}\\B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}$

(אגב, כדאי להשוות לטנזור השדה האלקטרומגנטי, והדמיון אינו מקרי).

הנוסחה לחזרה מהצגה כטנזור להצגה כפסאודו-וקטור היא:

$\ B'_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{jk}\epsilon _{ijk}B_{jk}$

אז אם לוקחים את הנוסחה של המכפלה הוקטורית:

$\ C_{i}=\sum _{jk}\epsilon _{ijk}A_{j}B_{k}$

מפרידים בין וקטורים לפסאודו וקטורים, ומשתמשים בזהות:

$\ \sum _{i=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$

מתקבלים החוקים הבאים (ששונים במקרים השונים):

בשביל לקבל משני וקטורים אמיתיים A ו B טנזור א-סימטרי, C הנוסחה היא:

$\ C_{ij}=A_{i}B_{j}-A_{j}B_{i}$

את זה ניתן לקבל ע"י כפל מטריצות, אם מתייחסים לוקטור הרגיל כוקטור עמודה (ולוקטור המשוחלף, המסומן ב t כוקטור שורה), בעזרת ההגדרה ל כפל וקטורי במקרה זה כ:

$\ C=AB^{t}-BA^{t}$

מה שמעניין זה ש(אם אל טעיתי באיזה מינוס) ההגדרה האחרונה טובה גם למכפלה וקטורית של שני טנזורים-אנטי סימטריים (פסאודו-וקטורים).

לעומת זאת, עבור מכפלה וקטורית של וקטור אמיתי A מטריצה אנטי סימטרית B, (כשהוקטור דוקא ראשון), יוצא (ושוב, אני מקווה שלא טעיתי בסימן) כפל מטריצות רגיל של וקטור במטריצה (אפשר לכפול את הוקטור משמאל ,כוקטור שורה, או לשים אותו דוקא מימין, אם רוצים אותו כוקטור עמודה)

אני לא יודע אם זה מה שקיווית, אבל זה הכי קרוב שאפשר לדעתי להגיע למה שרצית. eman • שיחה • ♥ 15:40, 6 באוגוסט 2007 (IDT)

נתת לי רעיון, EMAN, להכללה של מכפלה וקטורית ל-n ממדים, אבל קודם צריך להגדיר כמה דברים:

1. טנזור משוחלף: אם A טנזור מדרגה n, אז הטנזור המשוחלף שלו, $A^{t}$מוגדר על ידי: $\left(A^{t}\right)_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{n}}=A_{i_{n},i_{n-1},\cdots ,i_{1}}$
2. פעולת כפל מיוחדת בין טנזורים, שמזכירה כפל מטריצות, אני סימנתי אותה בסימן #: אם A,B טנזורים מדרגה n, אז הכפל מוגדר כך:

$\left(A\#B\right)_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}=\sum \limits _{j}^{}{A_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-1},j}B_{j,i_{2},\ldots ,i_{n}}}$

עכשיו, $\ {A}',{B}',{C}'$ הם וקטורים. $\ {{C}'}$ אמור להיות התוצאה של המכפלה הוקטורית של $\ {{A}'}$ ו $\ {{B}'}$ .

עכשיו, צריך לחשב טנזורים מתאימים לוקטורים $\ {A}',{B}',{C}'$ אלה יקראו $\ {A},{B},{C}$ (בהתאמה), לדוגמה חישוב של $\ {A}$: $A_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-1}}=\sum \limits _{i_{n}}{\varepsilon _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}{A}'_{i_{n}}}$

הפעולה ההפוכה היא: ${A}'_{i_{1}}=\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{n-1}\sum \limits _{i_{2},i_{3},\ldots ,i_{n}}{\varepsilon _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}A_{i_{2},i_{3},\ldots ,i_{n}}}$

עכשיו מחשבים את $\ {{C}'}$ כך שייתקיים: $C=A\#B^{t}-B\#A^{t}$

$\ {{C}'}$ קיבל עכשיו את תוצאת המכפלה הוקטורית בין $\ {{A}'}$ ו $\ {{B}'}$

אנא הגיבו. --80.178.29.53 16:44, 15 באוגוסט 2007 (IDT)

אגב, אפשר להגדיר מכפלה וקטורית שתיתן וקטור עבור $2^{n}-1$ ממדים, לדוגמה עבור 7 ממדים: אם $C=A\times B$ הם וקטורים ב-7 ממדים, אז המכפלה מוגדרת כך:

${\begin{aligned}&C_{1}=\left(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}+A_{4}B_{5}-A_{5}B_{4}-A_{6}B_{7}+A_{7}B_{6}\right)\\&C_{2}=\left(-A_{1}B_{3}+A_{3}B_{1}+A_{4}B_{6}-A_{6}B_{4}+A_{5}B_{7}-A_{7}B_{5}\right)\\&C_{3}=\left(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}+A_{4}B_{7}-A_{7}B_{4}-A_{5}B_{6}+A_{6}B_{5}\right)\\&C_{4}=\left(-A_{1}B_{5}+A_{5}B_{1}-A_{2}B_{6}+A_{6}B_{2}-A_{3}B_{7}+A_{7}B_{3}\right)\\&C_{5}=\left(A_{1}B_{4}-A_{4}B_{1}-A_{2}B_{7}+A_{7}B_{2}+A_{3}B_{6}-A_{6}B_{3}\right)\\&C_{6}=\left(A_{1}B_{7}-A_{7}B_{1}+A_{2}B_{4}-A_{4}B_{2}-A_{3}B_{5}+A_{5}B_{3}\right)\\&C_{7}=\left(-A_{1}B_{6}+A_{6}B_{1}+A_{2}B_{5}-A_{5}B_{2}+A_{3}B_{4}-A_{4}B_{3}\right)\\\end{aligned}}$
--כרוז 17:10, 3 בספטמבר 2007 (IDT)

"דוגמא" למה? הממדים 1,2,3,7 מיוחדים, ולא ניתן להכליל אותם רעיונות לממדים אחרים. ראה משפט הורוויץ. עוזי ו. 22:37, 5 בספטמבר 2007 (IDT)

ומה עם ה-15 ממדי בעזרת הסדניונים? (הדף באנגלית) (אני לא כותב בגלל שהפיתוח מאוד מסובך) --כרוז 15:07, 9 בספטמבר 2007 (IDT)

אגב, הנה המקרה הכללי:

$\left({\vec {u}}_{1},s_{1},{\vec {v}}_{1}\right),\left({\vec {u}}_{2},s_{2},{\vec {v}}_{2}\right)$ הם וקטורים, ומכפלתם: $\left({\vec {u}}_{1},s_{1},{\vec {v}}_{1}\right)\times \left({\vec {u}}_{2},s_{2},{\vec {v}}_{2}\right)=\left(u_{1}\times u_{2}-s_{2}v_{1}+s_{1}v_{2}+v_{2}\times v_{1},v_{1}\cdot u_{2}-v_{2}\cdot u_{1},s_{2}u_{1}+v_{2}\times u_{1}-s_{1}u_{2}-v_{1}\times u_{2}\right)$

--כרוז 15:20, 11 בספטמבר 2007 (IDT)

שאלה

איך מחשבים מכפלה וקטורית בקואורדינטות כדוריות? --כרוז 15:41, 5 בספטמבר 2007 (IDT)

בעיקרון זה לא שונה מלחשב במערכת קואורדינטות קרטזיות (בניגוד נניח לרוטור, ששם יש הרבה בלגנים). צריך רק להקפיד לזכור איך מסדרים את וקטורי היחידה כך שהם שלשה ימנית. צריך גם לזכור שלווקטור המיקום יש רק רכיב רדיאלי.

eman • שיחה • ♥ 22:36, 5 בספטמבר 2007 (IDT)

שימושים

"מציאת היטל וקטור אחד על אחר" - עד כמה שידוע לי, לשם כך משתמשים במכפלה סקלרית, לא? --Erel Segal - שיחה 19:57, 22 בפברואר 2009 (IST)

חסר בערך

נראה לי שחסרה התיחסות לאורך הוקטור המתקבל מהמכפלה הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
84.228.237.160 15:47, 9 במאי 2014 (IDT)

הגדרת המכפלה

למה להסתבך עם ${\vec {A}}\times {\vec {B}}={\hat {n}}|A||B|\sin \theta$ ???

הרבה יותר פשוט להגדיר כך: ${\vec {A}}\times {\vec {B}}=|A||B|\cos \theta$