הישר של סורגנפריי

בטופולוגיה, הישר של סורגנפרייאנגלית: Sorgenfrey Line) הוא מרחב טופולוגי שמוגדר על קבוצת הממשיים , כך שקבוצה פתוחה במרחב היא איחוד של קטעים חצי-פתוחים בממשיים, מהצורה . המרחב קרוי על שמו של רוברט סורגנפריי.

פורמלית, על הישר הממשי , מגדירים את אוסף תת-הקבוצות: . אוסף זה מהווה טופולוגיה על .

תכונותעריכה

  • בסיס לטופולוגיה זו הוא קבוצת כל הקטעים מהצורה הנ"ל, כלומר  .
  • טופולוגיה זו מכילה ממש את הטופולוגיה הסטנדרטית על הממשיים. כלומר, כל קבוצה פתוחה לפי המטריקה הסטנדרטית, פתוחה גם לפי הישר של סורגנפריי, ויש קבוצות נוספות שאינן פתוחות בישר הסטנדרטי, כמו כל קטע חצי פתוח  .
  • ההתכנסות בטופולוגיה זו שונה מההתכנסות בממשיים. כך למשל, בעוד שהסדרה   מתכנסת לאפס, הסדרה   לא מתכנסת לאפס.
  • כל קטע מהצורה   או מהצורה   הוא קבוצה סגורה ופתוחה. לכן, לטופולוגיה זו ממד אפס.

מרחב מכפלהעריכה

על ידי הכפלת מרחב זה בעצמו, ניתן לקבל מרחב מכפלה, ששומר על חלק מהתכונות של המרחב המקורי, אך חלקן גם אובדות או נחלשות.

בפרט, אם מכפילים פעמיים, מקבלים את המישור של סורגנפריי. המרחב שמתקבל הוא דוגמה למרחב בו ספרביליות לא עוברת בירושה לתתי מרחבים - האלכסון   הוא תת-מרחב לא ספרבילי.

מרחב המכפלה XxX הוא רגולרי, אבל לא נורמלי. זוהי דוגמה לכך שמכפלה סופית של מרחבים נורמליים אינה בהכרח נורמלית (למרות שמכפלה סופית של מרחבים רגולריים היא רגולרית).