פתיחת התפריט הראשי

הלמה של בורל-קנטלי

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20.[1][2] המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.

נוסח פורמליעריכה

יהי   מרחב הסתברות, ותהי   סדרה של מאורעות.

נתבונן במאורע הבא,

 
.

הלמה הראשונה של בורל-קנטליעריכה

אם מתקיים כי  , אז  

הלמה השנייה של בורל-קנטליעריכה

נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים.[3] אם מתקיים כי  , אז  .

נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע   הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.

הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.

הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעותעריכה

נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר  . נשים לב כי במקרה זה,  . אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים   שעבורה  .

הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייהעריכה

נשים לב כי הלמה השנייה של בורל-קנטלי לא קובעת את הכיוון ההפוך של הלמה הראשונה באופן כללי, אלא מוסיפה את הדרישה שהמאורעות יהיו בלתי-תלויים. ואכן, במקרה בו המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.

נתבונן במאורעות   במרחב ההסתברות   עם מידת לבג. מאורעות אלה כמובן תלויים, שכן למשל לכל   מתקיים  .

ואכן, למרות שמתקיים  , עדיין  .

ראו גםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 27 (1909) pp. 247–271.
  2. ^ F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", Atti Accad. Naz. Lincei 26:1 (1917) pp.39–45.
  3. ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית  , לכל קבוצת מאורעות  , מתקיים כי  .